一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为，初始时，传送带与煤块都是静止的，现让传送带以恒定的加速度a₀开始运动，当其速度达到v₀后，便以此速度做匀速运动，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动，求此黑色痕迹的长度？

根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a_{0 ，}根据牛顿运动定律，可得：，设经历时间t，传送带由静止开始加速到速度等于v₀，煤块则由静止加速到v，有：； 。由于，故，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间，煤块的速度由增加到，有 ：，此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v₀的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为和s，有
        
传送带上留下的黑色痕迹的长度
由以上各式得