◎ 题目

如图是过山车的部分模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m，该光滑圆形轨道固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24，不计空气阻力，取g=10m/s2．sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，问： （1）小车在A点的速度为多大？ （2）小车在圆形轨道的最低点B时对轨道的压力为重力的多少倍？ （3）小车在P点的初速度为多大？

◎ 答案

解（1）小车经过A点时的临界速度为vA mg=m vA2 R vA=4 5 m/s （2）根据动能定理得， 1 2 mvB2- 1 2 mvA2=2mgR 由牛顿第二定律得，FB-mg=m vB2 R 解得：FB=6mg  由牛顿第三定律可知： 球对轨道的作用力FB'=6mg，方向竖直向下． （3）设Q点与P点高度差为h，PQ间距离为L，L= R(1+cosα) sinα ． P到A对小车，由动能定理得 -μmgcosαL= 1 2 mvA2- 1 2 mv02． 解得v0=4 6 m/s． 答：（1）小车在A点的速度为vA=4 5 m/s． （2）小车在圆形轨道的最低点B时对轨道的压力为重力的6倍． （3）小车在P点的初速度为v0=4 6 m/s．