解析：

A、无论是物体速度的大小变了，还是速度的方向变了，都说明速度是变化的，都是变速运动，做曲线运动的物体的速度方向在时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，故A正确．

B、物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合力不一定变化，如平抛运动．所以B选项错误．

C、曲线运动只是说它的轨迹是曲线，当物体受到的力是恒力时，它就可以是匀变速运动，如我们平时所说的平抛运动，是曲线运动，同时它也是匀变速运动，故C错误．

D、在恒力的作用下，物体也可能做曲线运动，如平抛运动，就是在重力这个恒力的作用下做的曲线运动，所以D选项错误．

故选：A．