◎ 题目

理论推证表明，取离星球中心无穷远处为引力势能的零势点时，以物体在距离星球中心为r处的引力势能可表示为：Ep=-G Mm r ．G为万有引力常数，M、m表示星球与物体的质量，而万有引力做的功等于引力势能的减少量． 现已知月球质量为M、半径为R，探月飞船的总质量为m．月球表面的重力加速度为g，万有引力常数G．要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为E． 阿聪同学提出了一种计算此能量E的方法：消耗的能量由两部分组成，一部分是克服万有引力做的功W引（等于引力势能的增加量）；另一部分是飞船获得的动能EK= 1 2 mv2（v为飞船在环月轨道上运行的线速度），最后算出：E= 1 2 mv2+W引，请根据阿聪同学的思路算出最后的结果（不计飞船质量的变化及其他天体的引力和月球的自转等影响）．

◎ 答案

由题意知： W引=△Ep=-G Mm (R+H) -[-G Mm R ]= GMmH R(R+H)                飞船在轨道上： G Mm (R+H)2 =m v2 R+H …① 所以： 1 2 mv2= GMm 2(R+H)  …② 所发射飞船消耗的能量至少为： E= 1 2 mv2+W引= GMm 2(R+H) + GMmH R(R+H) = GMm(R+2H) 2R(R+H) …③ 另飞船在未发射时，在月球表面：G Mm R2 =mg； 所以：GMm=mgR2 …④ ④代入③有：E= mgR(R+2H) 2(R+H) 答：要将探月飞船从月球表面发送到离月球表面高度为H的环月轨道消耗的能量至少为 GMm(R+2H) 2R(R+H) 或者 mgR(R+2H) 2(R+H) ．

◎ 解析

“略”