理论研究表明,物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用,具有引力势能.选物体在距地球无限远处的引力势能为零,则引力势能可表示为Ep=-GMmr(其中G为万有引力常量,M为地

◎ 题目

理论研究表明,物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用,具有引力势能.选物体在距地球无限远处的引力势能为零,则引力势能可表示为Ep=-
GMm
r
(其中G为万有引力常量,M为地球质量,m为物体的质量,r是物体到地心的距离).现有一质量m′的人造卫星绕地球做圆周运动周期T.若要从地面上将这颗卫星发射成功,则至少需做多少功?(已知地球质量为M,半径为R,万有引力常量为G,且忽略空气阻力对卫星发射的影响)

◎ 答案

设卫星绕地球做圆周运动半径r′,牛顿第二定律得:
GMm′
r2
=m′r′
4π2
T2
=m′
v2
r′

解得r′=
3
GMT2
4π2

EK=
1
2
mv2=
GMm′
2r′
,在r′轨道上运动具有的机械能为E=EK+EP=
-GMm′
2r′

地面发射须做功W=△E=
GMm/
R
-
GMm/
2
3
GMT2
4π2


答:若要从地面上将这颗卫星发射成功,则至少需做功为
GMm/
R
-
GMm/
2
3
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