◎ 题目

如图所示，质量均为m的物体B．C分别于轻质弹簧的两端栓接，将它们放在倾角为30°的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为x0．斜面底端有固定挡板D，物体C靠在挡板D上．将质量也为m的物体A从斜面上的某点由静止释放，与B相碰．已知重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力．求： （1）弹簧的劲度系数k； （2）若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，且A与B第一次运动达到最高点时，C对挡板D的压力恰好为0，求此简谐运动的振幅； （3）若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时，C对挡板D的压力也恰好为零．已知A与B相碰后弹簧第一次恢复原长时B的速度大小为v= 1.5gx0 ，求相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离．

◎ 答案

（1）对B，由平衡条件，有：mgsinθ=kx0， 解得：k= mg 2x0 （2）设A与B一起做简谐运动在平衡位置时弹簧的压缩量为x1，则有： 2mgsinθ=kx1， 设A与B第一次运动到最高点弹簧的伸长量为x2，则由题意有： mgsinθ=kx2， 所以此简谐运动的振幅A=x1+x2 解得：A=3x0， （3）设物体A释放时A与B之间距离为x，A与B碰撞前物体A速度的大小为v1，则有： mgxsinθ= 1 2 m v 21 ，得v1= gx 设A与B相碰后两物体共同的速度为v2，对A与B发生碰撞的过程，有：mv1=2mv2，得：v2= 1 2 v1 物体B静止时弹簧的形变量为x0，设弹性势能为Ep，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，有： 1 2 ?2m v 22 +EP= 1 2 ?2mv2+2mgx0sinθ 当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设分离后物体A还能沿斜面上升的距离为x3． 对物体A，从与B分离到最高点的过程，有： 1 2 mv2=mgx3sinθ 解得：x3=1.5x0； 对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为0，物体C恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为x0，弹簧的弹性势能也为EP．从A、B分离到B运动到最高点的过程，有 1 2 mv2=mgx0sinθ+Ep；解得： 物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离 d=x-x0-x1； 联立以上各式解得：d=6.5x0； 答： （1）弹簧的劲度系数k是 mg 2x0 ； （2）此简谐运动的振幅是3x0； （3）相碰后A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离是6.5x0．

◎ 解析

“略”