在竖直面内有一光滑水平直轨道和一光滑半圆形轨道,二者在半圆的一个端点B相切,如图所示,半圆形轨道的另一端点为C,半径为R。在直轨道上距离B为x的A点,有一可看作质点的质

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◎ 题目

在竖直面内有一光滑水平直轨道和一光滑半圆形轨道,二者在半圆的一个端点B相切,如图所示,半圆形轨道的另一端点为C,半径为R。在直轨道上距离BxA点,有一可看作质点的质量为m的小球处于静止状态。现用水平恒力将小球推到B处后撤去恒力,小球沿半圆轨道运动到C处后又落到水平面上。求:

(1)若小球正好落到出发点A处,在这种情况下:
①用x和给出的已知量来表达推力对小球所做的功;
x取何值时,水平恒力做功最小?最小值为多少?
(2)在任意情况下,x取任意值,求小球在B处和C处对轨道的压力大小之差?

◎ 答案

(1)①
x=2R时,
(2)6mg     

◎ 解析

(1)若正好落到出发点A处,则小球由CA做平抛运动。
①设小球在C处的速度为vC,由运动学知识知:
在水平方向上有x=vCt                                                                                                  (1分)
在竖直方向上有y=2R=                                                                                        (1分)
对小球从AC由动能定理得                                          (1分)
联立解得:                                                              (1分)
②当WF有最小值时,小球恰能到达C处(设此时小球的速度为v0),有    (1分)
又小球仍能落到A处,由v02=vC2可得x=2R                                                                   (2分)
                                                                                                            (1分)
(2)当小球在B处时,                                                                    (1分)
当小球在C处时,                                                                             (1分)
小球从BC由机械能守恒得                                           (1分)
由以上三式可得△F=FB-FC=6mg                                                                                          (1分)

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