◎ 题目

如图所示，一水平方向的传送带以恒定速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧轨道，并与弧下端相切．一质量m=1kg的物体自圆弧轨道的最高点由静止滑下，圆弧轨道的半径尺R=0.45m，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，不计物体滑过曲面与传送带交接处时的能量损失，传送带足够长，取g=10m/s2． （1）求物体从第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间； （2）求物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功及由于摩擦产生的热量； （3）求物体从第二次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功及由于摩擦产生的热量； （4）经过足够长的时间之后物体能否停下来？若能，请说明物体停下的位置；若不能，请简述物体的运动规律．

◎ 答案

（1）物体沿圆弧轨道下滑的过程中机械能守恒，设物体滑到传送带右端时的速度为v1，则有： mgR= 1 2 mv12． 解得v1=3m/s． 物体在传送带上运动的加速度大小为a= μmg m =μg=2m/s2． 物体在传送带上向左运动的时间t1= v1 a =1.5s． 向左运动的最大距离s= v12 2a =2.25m． 物体向右运动达到速度为v时，向右运动的距离s1= v2 2a =1m． 所用的时间t2= v a =1s，匀速运动的时间t3= s-s1 v =0.625s． 所以t=t1+t2+t3=1.5+1+0.625s=3.125s． （2）根据动能定理得，传送带对物体做的功 W= 1 2 mv2- 1 2 mv12=-2.5J． 物体相对传送带滑过的路程△x= v2-v12 -2a +v(t1+t2)=6.25m 由于摩擦产生的热量Q=μmg?△x=12.5J． （3）根据机械能守恒定律，物体第二次滑上传送带时的速度为2m/s． 物体先向左做匀减速运动，减速到速度为零，然后向右做匀加速运动，直到速度变为v=2m/s． 时间t4=2 v a =2s． 根据动能定理，由于物体从滑上传送带到离开传送带过程中物体的动能没有变化，故传送带对物体所做的功W2=0． 在这段时间内物体相对传送带滑过的路程△x2=vt4=4m 所以由于摩擦产生的热量为 Q′=μmg?△x2=0.2×1×10×4J=8J． （4）物体不会停下来，物体在圆弧轨道和传送带上做周期性往复运动．

◎ 解析

“略”