◎ 题目

如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转到，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α=45°．两质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转到时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2． （1）求杆转动角速度ω的最小值； （2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式； （3）求第（2）问过程中杆对每个环所做的功．

◎ 答案

（1）∵角速度最小时，fmax沿杆向上，则 FNsin45°+fmaxcos45°=mg， FNcos45°-fmaxsin45°=mrω12， 且fmax=0.2FN，r= l 2 ， 代入数据解得ω1= 10 3 ≈3.33rad/s （2）当fmax沿杆向下时，有 FNsin45°=fmaxcos45°+mg， FNcos45°+fmaxsin45°=mrω22， 代入数据解得ω2=5rad/s 当细线拉力刚达到最大时，有 FNsin45°=fmaxcos45°+mg， FNcos45°+fmaxsin45°+Fmax=mrω32， ∴ω3=10rad/s 则F拉= 0( 10 3 rad/s≤ω≤5rad/s) 0.06ω2-1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s) ． （3）根据动能定理，有 W= 1 2 m(ω3r)2- 1 2 m(ω1r)2 代入数据解得W=1.6J． 答：（1）杆转动角速度ω的最小值为3.33rad/s； （2）此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式F拉= 0( 10 3 rad/s≤ω≤5rad/s) 0.06ω2-1.5(5rad/s≤ω≤10rad/s) ．； （3）第（2）问过程中杆对每个环所做的功为1.6J．

◎ 解析