◎ 题目

竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距0点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰撞后都结为一体，已知M=100m， （1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞多少次后大物体的速度最小？ （2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，问共碰撞多少次后大物体能越过A点？ （3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的几分之几？

◎ 答案

（1）设A、B在O点的速度大小分别为vA、vB． 由机械能守恒定律得：Mgh= 1 2 M v 2A ，mg?4h= 1 2 m v 2B 解得，vA= 2gh ，vB=2 2gh 设碰撞n次后大物体的速度最小，最小速度为零，则根据动量守恒得：   MvA-nmvB=（M+m）v 当v=0时，MvA-nmvB=0，则得n=50次 （2）当大物体的速度达到vA时，恰好能越过A点．  第一次碰撞：MvA-mvB=（M+m）v  设再碰撞k次：（M+m）v+kmvB=（M+m+km）vA， 联立解得 k=3 故共碰4次． （3）第1次碰撞：MvA-mvB=（M+m）v1，     第2次碰撞：（M+m）v1+mvB=（M+2m）v2，     第3次碰撞：（M+m）v2-mvB=（M+3m）v3，     第4次碰撞：（M+m）v3+mvB=（M+4m）v4，    … 第50次碰撞：（M+49m）v49+mvB=（M+50m）v50， 联立解得，v50= 2 3 vA 根据机械能守恒得：Mgh′= 1 2 m(v50)2 解得h′= 4 9 h 答： （1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后大物体的速度最小． （2）若大物体第一次向右运动到0点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到0点时，才与一个小物体碰撞，共碰撞4次后大物体能越过A点． （3）若每当大物体运动到0点时，都有一个小物体与之碰撞，碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的 4 9 ．

◎ 解析

“略”

◎ 知识点

    专家分析，试题“竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距0点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰…”主要考查了你对  【机械能守恒定律】，【动量守恒定律】  等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。