◎ 题目

如图所示，ABC为固定在竖直面内的光滑四分之一圆轨道，其半径为r=10m，N为固定在水平面内的半圆平面，其半径为R= 10 π m，轨道ABC与平面N相切于c点，DEF是包围在半圆平面N周围且垂直于N的光滑半圆形挡板，质量为M=1kg的滑块的上表面与平面N在同一水平面内，且滑块与N接触紧密但不连接，现让物体自A点由静止开始下滑，进入平面N后受到挡板DEF的约束并最终冲上滑块，已知m=1kg，物体与平面N之间的动摩擦因数为μ1=0.5、与滑块之间的动摩擦因数为μ2=0.4，滑块与地面之间是光滑的，滑块的竖直高度为h=0.05m，长L=4m．（取g=10m/s2） （1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是多少？ （2）物体运动到F处时的速度是多少？ （3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是多少？

◎ 答案

（1）对m从A到C 的过程，由动能定理得：mgr= 1 2 mvC2 由牛顿第二定律得： N-mg=m vC2 r      联立代入数值得：N=3mg=30N     由牛顿第三定律m在C处对圆轨道的压力为30N （2）对m从C到F    πRμ1mg= 1 2 mvC2- 1 2 mvF2      解得：vF=10m/s    （3）根据牛顿第二定律，       对m：-μ2mg=ma1，解得：a1=-4m/s2            对M：μ2mg=Ma1，解得：a2=4m/s2 设经t时间m刚要从M上滑落，此时m的速度v1，运动的位移为s1，M的速度v2，运动的位移为s2     s1=vFt+ 1 2 a1t2           s2= 1 2 a2t2       而 s1-s2=L    由以上三式得：t1=2s，t2= 1 2 s 检验：当t1=2s时 v1=vF+a1t1=2m/s，v2=a2t1=8m/s   不合题意舍去， 当t2= 1 2 s时，v1=vF+a1t2=8m/s，v2=a2t2=2m/s  设m从抛出到落地时间为t3，       则h= 1 2 gt32       解得：t3=0.1s 这段时间内，m水平位移s3=v1t3=0.8m          M水平位移 s4=v2t3=0.2m    所以△s=s3-s4=0.6m  答：（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是30N； （2）物体运动到F处时的速度是10m/s； （3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是0.6m．