◎ 题目

探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段： ①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（图a）； ②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h1时，与静止的内芯碰撞（图b）； ③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处（图c）． 设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g．求： （1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小； （2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功； （3）从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能．

◎ 答案

设外壳上升高度h1时速度为V1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V2， （1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h2处，应用动能定理有： （4m+m）g（ h2-h1）= 1 2 （4m+m）V22， 解得V2= 2g(h2-h1) ； （2）外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，应用动量守恒定律有： 4mV1=（4m+m）V2， 解得V1= 5 4 2g(h2-h1) ， 设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有 W-4mgh1= 1 2 （4m）V12， 解得：W= 25h2-9h1 4 mg； （3）由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h2的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为E损= 1 2 （4m）V12- 1 2 （4m+m）V22， 联立解得E损= 5 4 mg（h2-h1）． 答：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小是 2g(h2-h1) ； （2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功是 25h2-9h1 4 mg； （3）从外壳下端离开桌面到上升至h2处，笔损失的机械能 5 4 mg（h2-h1）．

◎ 解析