◎ 题目

图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R1=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．计算结果保留小数点后一位数字．试求 （1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是多少； （2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围； （3）小球最终停留点与起点A的距离．

◎ 答案

（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1= gR1 = 14 m/s 根据动能定理得 -μmgL1-2mgR1= 1 2 mv12- 1 2 mv02 解得 L1=18.5m                       （2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论： I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v2，应满足       mg=m v 22 R2 -μmg（L1+L）-2mgR2= 1 2 mv22- 1 2 mv02 由上两式解得：R2=0.4m II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R2，即上升到与圆心等高的位置， 根据动能定理得 -μmg（L1+L）-mgR2=0- 1 2 mv02 解得：R2=1.0m 为了保证圆轨道不重叠，R2最大值应满足：(R1+R2)2=L2+(R1-R2)2， 解得 R2=27.9m                         综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件   0＜R2≤0.4m 或   1.0m≤R2≤27.9m                                （3）当0＜R2≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则 -μmgL′=0- 1 2 mv02                   解得 L′=36.0m                               当1.0m≤R2≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则    L″=L′-2（L′-L1-L）=26.0m 答： （1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L1应是18.5m； （2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R2的可变范围为 0＜R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m； （3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．