(16分)如图所示，均匀光滑直杆AB长为L，可绕光滑固定转轴O转动，O距B点L/3处。在水平杆的另一端A下摆经过的轨迹上安装光电门，用来测量A端的瞬时速度v_A，光电门测量位置和转轴O的高度差h可以调节，有一质最为m的小球套在光滑杆上，重力加速度g取10m/s²。

⑴若杆的质量忽略不计，小球固定在杆OA的中点处，由静止释放杆，请写出光电门测量到的速度v_A与高度差h的关系式；
⑵实际情况下杆的质量M不能忽略，拿走小球后重复实验，得到了如图所示的与h关系图线．请写出杆绕O点转动时的动能E_k与v_A的关系式；
⑶若杆的质量M＝3kg，小球m＝2kg固定在杆OA的中点处，将杆由水平位置静止释放，请根据计算分析在图丙中画出与h关系图线。

⑴v_A＝；⑵E_k＝；⑶＝42h，

试题分析：⑴根据图中几何关系可知，当A端下降h高度时，小球下降的高度为h/2，设此时小球的速度大小为v₁，根据机械能守恒定律有：＝      ①
小球与A端共轴转动，因此有：v_A＝2v₁       ②
由①②式联立解得：v_A＝
⑵当考虑杆的质量，拿走小球后，杆的重心距转轴O的距离为L/6，因此杆的重心下降高度H与杆A端下降高度h的关系为：H＝h/4        ③
在转动过程中，根据机械能守恒定律有：E_k＝MgH       ④
由与h关系图线可知：＝45h       ⑤
由③④⑤式联立解得：E_k＝＝
⑶由⑴⑵中分析可知，对杆和小球系统，根据机械能守恒定律有：＋＝＋
代入数据化简得：＝42h，所画与h关系图线如下图所示。