（20分）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上放置一质量为m的物块B，B的下端连接一轻质弹簧，弹簧下端与挡板相连接，B平衡时，弹簧的压缩量为x₀，O点为弹簧的原长位置。在斜面顶端另有一质量也为m的物块A，距物块B为3x₀，现让A从静止开始沿斜面下滑，A与B相碰后立即一起沿斜面向下运动，并恰好回到O点（A、B均视为质点）。试求：

（1）A、B相碰后瞬间的共同速度的大小；
（2）A、B相碰前弹簧的具有的弹性势能；
（3）若在斜面顶端再连接一光滑的半径R=x₀的半圆轨道PQ，圆轨道与斜面相切于最高点P，现让物块A以初速度v从P点沿斜面下滑，与B碰后返回到P点还具有向上的速度，试问：v为多大时物块A恰能通过圆弧轨道的最高点？

    

试题分析：（1）设与相碰前的速度为，与相碰后共同速度为
由机械能守恒定律得 （2分）
由动量守恒定律得   （2分）
解以上二式得（2分）
（2）设、相碰前弹簧所具有的弹性势能为，从、相碰后一起压缩弹簧到它们恰好到达O点过程中，由机械能守恒定律知
（3分）
解得（2分）
（3）设物块第二次与相碰前的速度为，碰后、的共同速度为
   （1分）
   （1分）
、一起压缩弹簧后再回到O点时二者分离，设此时共同速度为，则
（2分）
此后继续上滑到半圆轨道最高点时速度为，则
（2分）
在最高点有（1分）
联立以上各式解得（2分）