◎ 题目

如图所示（甲），一辆汽车车厢右端放一质量为m的木箱（可视为质点），汽车车厢底板总长L=9m，汽车车厢底板距离地面的高度H=5m，木箱与汽车车厢底板间的动摩擦因数μ=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2（计算结果保留三位有效数字）． （1）若汽车从静止开始启动，为了保证启动过程中木箱和汽车车厢底板间不发生相对滑动，求汽车的最大加速度a； （2）若汽车由静止开始以a0=6m/s2的加速度匀加速行驶，求木箱落到地面上时距离车厢左端的水平距离（木箱离开车厢后竖直方向为自由落体）； （3）若汽车从静止开始一直以（2）中加速度加速运动，为了防止木箱从车厢左端滑出，在车厢左端处安装一只长度可忽略的轻弹簧（如图乙所示），此时弹簧处于压缩状态并被锁定．每次当木箱滑至左端与弹簧发生碰撞时，弹簧都将自动解锁，并都以碰前瞬间木箱速率（相对于车）的2倍速率（相对于车）将木箱弹出，同时又将弹簧压缩并重新锁定．如此反复，通过多次碰撞最终使木箱静止于车厢内，试求木箱在车厢内滑行的总路程． （已知：当0＜A＜1，n→+∞时，A+A2+A3+K+An= A 1-A ；）

◎ 答案

（1）木箱和车厢恰好不发生相对滑动时，加速度最大，则由根据牛顿第二定律得    μmg=ma 解得，a=μg=4m/s2． （2）设木箱在车厢上滑动的时间为t，则有   L= 1 2 a0t2- 1 2 at2 得 t= 2L a0-a =3s 木箱离开汽车时的速度大小为v=at=12m/s，汽车此时的速度为V=a0t=18m/s 木箱离开车厢后做平抛运动，则有   H= 1 2 gt′2 解得，t′=1s 所以s=（Vt′+ 1 2 a0t′2）-vt′=9m （3）当木箱相对于车向左滑动时相对于车的加速度大小为a相=a0-a0=2m/s2， 设木箱滑到车厢的左端时相对车的速度为v1． 由 v 21 =2a相L  ① 弹簧将木箱弹出时，木箱相对于车向右滑动时，木箱相对于车厢的加速度大小为  a相′=a+a0=10m/s2，木箱相对于车向右做匀减速运动，设向右滑行至距离左端L1处停止，则有    （2v1）2=2a相′L1   ② 由①②得，L1=0.8L 设第二次碰到弹簧前的速度大小为v2，则有   v 22 =2a相L1  ③ 设第二次向右滑行至距离左端L2处停止，则有 (2v2)2=2a相′L2   ④ 由③④得，L2=0.8L1=0.82L   … 根据递推规律可知，设木箱第n次与弹簧碰撞后向右滑行的距离为Ln．  Ln=(0.8)nL 故木箱在车厢内滑行的总路程为  S=L+2×0.8L+2×0.82L+…+2（0.8）nL 其中n→∞ 由题意知，S=L+2 0.8 1-0.8 L=9L=81m． 答： （1）汽车的最大加速度a是4m/s2； （2）木箱落到地面上时距离车厢左端的水平距离是9m． （3）木箱在车厢内滑行的总路程是81m．

◎ 解析