如图所示,一块质量为M?长为l的匀质板放在很长的光滑水平桌面上,板的左端有一质量为m的物块,物块上连接一根很长的细绳,细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮,某人以恒定的速度v向下拉绳,物块最多只能到达板的中点,而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮处.求:

(1)物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移;
(2)若板与桌面间有摩擦,为使物块能到达板的右端,板与桌面间的动摩擦因数的范围;
(3)若板与桌面间的动摩擦因数取(2)问中的最小值,在物块从板的左端运动到右端的过程中,人拉绳的力所做的功(其他阻力均不计).

(1)  (2)大于  (3)2Mv²

(1)设物块在板上滑行的时间为t₁,对板应用动量定理得:
μ₁mgt₁=Mv,t₁=                 ①
设在此过程中物块前进位移为s₁,板前位移为s₂,
则s₁=v·t₁                                             ②
s₂=t₁                                                   ③
s₁-s₂=                            ④
由①~④得物块与板间的动摩擦因数为μ₁=板的位移s₂=
(2)设板与桌面间的动摩擦因数为μ₂,物块在板上滑行的时间为t₂.则应用动量定理得
[μ₁mg-μ₂(m+M)g]·t₂=Mv,
t₂=
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t₃
则

为了使物块能到达板的右端,必须满足t₂≥t₃
即≥,μ₂≥
所以为了使物块能到达板的右端,应使板与桌面的动摩擦因数μ₂≥
(3)设绳子的拉力为T,物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为s₃,则有:T-μ₁mg=0,s₃=v·t₃=2l
由功的计算公式得:W_T=T·s₃=μ₁mg·2l=·mg·2l=2Mv²
所以绳的拉力做功为2Mv².
(或W=ΔE_k+Q₁+Q₂=Mv²+μ₁mgl+μ₂(M+m)gl=2Mv₂)