如图所示,轻弹簧一端连于固定点O,可在竖直平面内自由转动,另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2kg,电荷量q=0.2C.将弹簧拉至水平后,以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球

◎ 题目

如图所示,轻弹簧一端连于固定点O,可在竖直平面内自由转动,另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10-2 kg,电荷量q=0.2C.将弹簧拉至水平后,以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平,其大小V=15m/s.若O、O1相距R=1.5m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10-1 kg的静止绝缘小球N相碰.碰后瞬间,小球P脱离弹簧,小球N脱离细绳,同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场.此后,小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动.小球P、N均可视为质点,小球P的电荷量保持不变,不计空气阻力,取g=10m/s2.那么,
(1)弹簧从水平摆至竖直位置的过程中,其弹力做功为多少?
(2)请通过计算并比较相关物理量,判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度.
(3)若题中各量为变量,在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下,请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示,其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角).
魔方格

◎ 答案


魔方格
(1)设弹簧的弹力做功为W,有:mgR+W=
1
2
mv2-
1
2
m
v20

                 代入数据,得:W=-2.05J           ②
   (2)由题给条件知,N碰后作平抛运动,P所受电场力和重力平衡,P带正电荷.设P、N碰后的速度大小分别为v1和V,
        并令水平向右为正方向,有:mv=±mv1+MV③
       而:v1=
Bqr
m

       若P、N碰后速度同向时,计算可得V<v1,这种碰撞不能实现.P、N碰后瞬时必为反向运动.有:V=
mv+Bqr
M

       P、N速度相同时,N经过的时间为tN,P经过的时间为tP.设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为θ,
             有:cosθ=
V
V1
=
V
v1

                 gtN=V1sinθ=v1sinθ⑦
              代入数据,得:tN=

3
4
s

      对小球P,其圆周运动的周期为T,有:T=
2πm
Bq

      经计算得:tN<T,
     P经过tP时,对应的圆心角为α,有:tP=
α
T

     当B的方向垂直纸面朝外时,P、N的速度相同,如图可知,有:α1=π+θ
           联立相关方程得:tP1=
15
s

     比较得,tN≠tP1,在此情况下,P、N的速度在同一时刻不可能相同.
     当B的方向垂直纸面朝里时,P、N的速度相同,同样由图,有:a2
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