如图的环状轨道处于竖直面内,它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成.以水平线MN和PQ为界,空间分为

◎ 题目

如图的环状轨道处于竖直面内,它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成.以水平线MN和PQ为界,空间分为三个区域,区域Ⅰ和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场,区域Ⅰ和Ⅱ有竖直向上的匀强电场.一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内,它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ(0<μ<1),而轨道的圆弧形部分均光滑.将小环在较长的直轨道CD下端的C点无初速释放(已知区域Ⅰ和Ⅱ的匀强电场场强大小为E=
2mg
q
,重力加速度为g),求:
(1)小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小;
(2)小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力?
(3)若从C点释放小环的同时,在区域Ⅱ再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场,其场强大小为E′=
mg
q
,则小环在两根直轨道上通过的总路程多大?
魔方格

◎ 答案

(1)从C到A,洛伦兹力不做功,小环对直轨道无压力,也就不受轨道的摩擦力.由动能定理,有:
       qE?5R-mg?5R=
1
2
m
v2A
  可得:vA=

10gR
  
    (2)过A点时,研究小环,由受力分析和牛顿第二定律,有:
     FN+mg-qvAB-qE=m
v2A
R
  解得  FN=11mg+qB

10gR
  方向向下 
    (3)由于0<μ<1,小环必能通过A点,以后有三种可能:
①有可能第一次过了A点后,恰好停在K点,则在直轨道上通过的总路程为:S=4R
②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后,最后一次从A点下来恰好停在K点,对整个运动过程,由动能定理,有:qE?3R-mg?3R-μqE′S=0   得:s=
3R
μ

③还可能最终在D或D′点速度为零(即在D与D′点之间振动),由动能定理,有:
   qE?4R-mg?4R-μqE′S=0得:s=
4R
μ

答:(1)小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小=

10gR

   (2)小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力为11mg+qB

10gR
,方向向下.
   (3)①有可能第一次过了A点后,恰好停在K点,S=4R;
        ②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后,最后一次从A点下来恰好停在K点,s=
3R
μ

        ③还可能最终在D或D′点速度为零(即在D与D′点之间振动),s=
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