如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（r≤R）和圆外区域Ⅱ（r＞R）分别存在两个磁场方向均垂直于XOY平面的匀强磁场；垂直于XOY平面放置了两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于X轴放置在Y轴坐标为-2.22R的位置，荧光屏乙平行于Y轴放置在X轴坐标为3.5R的位置。现有一束质量为m、电荷量为q（q＞0）、动能为E₀的粒子从坐标为（-R，0）的A点沿X轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现坐标为（0.4R,  -2.2R，）的亮点。若撤去圆外磁场，粒子打在荧光屏甲上，出现坐标为（0，-2.2R）的亮点M。此时，若将荧光屏甲沿Y轴负方向平移，则亮点的X轴坐标始终保持不变。（不计粒子重力影响）

（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度v₁、v₂　的大小。
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向。
（3）若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从A点沿X轴正方向射入区域Ⅰ的粒子束改为质量为m、电荷量为-q、动能为3E₀的粒子，求荧光屏上的亮点的位置。

试题分析：（1）由于在磁场中运动时洛仑兹力不做功，所以在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在点入射时初始速度大小，由可得
                 ①             （2分）
（1）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从点沿轴负方向进入区域Ⅱ的磁场

如图所示，圆周运动的圆心是点，半径为
（1）    ②       （2分）
由可得
            ③     （2分）
方向垂直平面向外。    ④            （1分）
粒子进入区域Ⅱ后做半径为的圆周运动，由
可得
                ⑤
圆周运动的圆心坐标为（，），圆周运动轨迹方程为

将点的坐标（，）代入上式，可得
      ⑥             （2分）
利用⑤、⑥式得
  ⑦    （2分）
方向垂直平面向里。         ⑧              （1分）
（3）

如图所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动。由可知，运动速度为
类似于⑤式，半径为 ⑨ （2分）
由圆心的坐标（，）可知，与的夹角为。通过分析如图的几何关系，粒子从点穿出区域Ⅰ的速度方向与轴正方向的夹角为⑩   （3分）
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为           （2分）
其圆心的坐标为（，）,即（，），说明圆心恰好在荧光屏乙上。所以，亮点将出现在荧光屏乙上的点，其轴坐标为