人物介绍 顾志能 小学数学特级教师，现任职于浙江省海盐县教育研训中心，浙江省基础教育改革专业指导委员会委员，教育部“优课”评比小学数学专家组组长，人教版小学数学《教师用书》编委，课堂教学曾获华东六省一市一等奖、全国一等奖。倡导课堂教学的创新，出版教学专著《创新照亮课堂》。

    有人曾经在上海面向家长做过一个问卷调查：小学毕业以后直到现在，你是否用到过三角形面积的计算公式？调查结果让人意想不到，200位接受问卷调查的家长中，居然只有一位家长用到过这个公式。

    这个故事应引发我们思考这样一个问题：三角形面积，小学数学教材中如此重要的内容，学生学了，长大以后却几乎用不到，那我们为什么还要教呢？对此，每一位数学教师都要有一个准确而清晰的认识。我这几年的教学探索，也一直在努力诠释着这个问题。

    将发展思维作为数学教学的本真追求

    回看数学的产生和发展，不难发现，伴随数学一路走来的，正是人类认识事物的各种各样的思维活动。如各种原始的计数法，内涵就是“直观”“一一对应”等思维方式；几何的产生，“形象思维”功不可没，几何的发展，“推理思想”贯穿始终；各种算法，往往就是“优化”的结果，就是一种“数学模型”……每个数学知识都是人类“思考”的结果，都承载着人们认识事物、改造世界的思维方式和思想方法。

    所以，我一直认为，数学知识本质上就是一个思维的载体；教数学，最重要的就是要借助这个载体，让学生在获得知识与技能的同时，获得更有意义的思维发展。

    以“三角形面积”这节课为例，我自己教过多次，也指导过其他教师的展示课。我主张，该课的设计要牢牢扣住“发展思维”。

    在这节课之前，学生刚学过“平行四边形的面积”，他们学会了沿着平行四边形的高剪下一个三角形，拼接在另一边，就变成了一个长方形。这种“割补”的方法，蕴含了一种重要的思维方式，那就是“转化”。

    教“三角形面积”时，刚一上课我就请学生说说生活中三角形状的物体，然后先挑了学生最熟悉的红领巾，让他们计算面积。学生很顺利地用“割补”的方法，将三角形转化成了平行四边形或长方形，求出面积。在学生都觉得很容易之时，我再让学生尝试另一个普通的三角形（不是等腰三角形），结果学生反复实验，发现无论沿着哪条高（或中线）剪，都无法拼成一个学过的图形。这时，我引导学生观察、思考、对比，分析原因。学生发现，原来红领巾是“割补”成了两个一样的三角形，所以才能转化成功，而现在的普通三角形，不管怎么剪，都不能分成两个一样的三角形。“割补”的思路看似不通了，那怎么办？学生主动思考，深入探究，最后发现不用“割补”而用“拼组”也可以实现转化（拿两个一样的普通三角形拼成一个平行四边形）……

    上课的过程曲曲折折，也许会让人觉得“啰唆烦琐”。然而，这样的过程，究竟给了学生什么呢？深刻理解三角形的面积公式自不必说，学生在探究的过程中，经历了对“转化”思想更深入的认识，思维的灵活性、深刻性得到发展；学生通过观察、操作、想象，空间观念这种重要的思维能力得以提升……获得思维的发展，不就是这个内容带给学生的最宝贵财富吗？至于长大后会不会用到这个公式，那还重要吗？

    一个人从出生时的懵懂无知，之所以能成长，之所以会越来越聪明，之所以能适应生活，能开拓创新，最重要的因素，就是通过受教育，不断地积累知识，不断地发展着思维。作为富含理性思维的数学学科，自然也担负着这个重要的使命，“数学是思维的体操”早已为我们点明发展思维是数学教学的本真追求。

    挖掘每个教学内容中蕴含的思维元素

    数学思维究竟意味着什么？有人说是指抽象、分类、类比、归纳、证明、化归等数学的思想；也有人说是指数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力等数学的能力；还有人说是指数学内容中蕴含的深刻性、创造性、灵活性、严密性、清晰性等思维的品质。

    我以为，以上这些名词，均区别于数学的知识与技能，均体现出用脑“思考”的明显特征。

    作为一位数学教师，需要理解这些名词的丰富内涵以及重要意义，更需要有一双“慧眼”，能够看到并挖掘出每一个普通的教学内容中蕴含的思维元素，并且想办法把这个内涵在课堂上切实彰显出来。我在执教“比万大的计数单位”这节课时，受到了观课者的好评。

    这节课的教学要说容易，两分钟就可教完，因为内容就是4句话：10个1万是10万，10个10万是100万，10个100万是1000万，10个1000万是1亿。然而，为了这4句话我教了40分钟。因为在备课时，我意识到计数单位名词的规定，蕴含着值得学生深入思考的元素。比如说，“10个百”要变成“千”，“10个千”要变成“万”（每次要换一个字作单位），但到了“10个1000万”时，怎么不叫“十千万”，而突然要换成一个“亿”字了？任何一个数学知识，其规定的背后都是有道理的。现行的计数单位是前人深入探索、理性思辨之后的成果，它展现着数学的简洁之美与结构之美。

    数学的思想与方法，数学活动的经验……这些都能彰显出数学学习最宝贵的价值。于是，我将教学目标放在——让学生经历对计数单位猜想、排序、比较等探究的过程，发展迁移能力、推理能力。在课堂上，教师应全力引导学生展开思辨与探究。学生由此亲历了猜想、辨析、说理等思考的过程，主动运用了观察、比较、迁移、推理等思考的方法，最后既深刻地理解了知识，又有效地发展了思维。

    一位优秀的数学教师，就是能把握住每一个教学内容中蕴含的思维元素，能将其明确地呈现于教学目标之中，能在课堂上全力去追求这个目标的实现。

    引导学生深刻经历思维提升的过程

    有了明确的目标追求，还需要一个与之匹配的教学过程。这个教学过程中，无论是学习情境、学习材料、教学环节还是教学形式等，都应当紧紧贴着“发展思维”的目标，并为这个目标的实现而各尽其能。

    在学习情境方面，我常常选用或创设蕴含较强思考成分的情境，以激发学生的挑战愿望，促使学生深入探索。在教学环节方面，我常有意制造一些“障碍”，让学生的学习之路变得曲折坎坷，从而需要持续思考。在学习形式方面，我努力引导学生开展观察、比较、分析、猜测、推理等数学活动，亲身去“做数学，悟数学”。

    小学数学中有一节课“用数对确定位置”比较典型，一般教师大多是借助教室座位图解这个情境，来描述某个学生的位置，然后利用课件将座位图抽象成点子图，再抽象成格子图，最后引导学生用列和行两个信息来表示，得出“数对”。这样的教学过程很顺畅，但我觉得，这里存在着很大的缺陷——学生没有深刻经历思维提升的过程。如座位图为何要变成点子图，又为何要变成格子图，为何要用到列和行两个信息来表示等，这些都不是学生思考的结果。在学习的过程中，学生更多地就是听讲，就是接纳，他们也缺少操作、思考、交流等有效的学习活动。

    如何改进？我依据笛卡尔看见蜘蛛而发明直角坐标系的传说，以一张白纸当作一面墙壁，以“描述墙壁上一只蜘蛛的位置”为情境，设计了挑战性的任务，逐层推进：蜘蛛先在底边上爬，学生发现只要给底边标上刻度，用一个数就可以讲清它的位置；蜘蛛爬到了底边上面另外的位置，学生发现用一个数无法刻画了，怎么办？蜘蛛继续爬，爬到任意的位置，接下来在白纸上可做些什么，让人一看就能说清蜘蛛的位置？

    整节课，因为巧妙引导，使得学生在真实有趣的情境中，主动采用丰富而有个性的学习形式，展现出深入而美妙的思考方式，逐步地“再创造”出了坐标系、数对等知识。学生的思维，真正经历了从“一维”到“二维”的发展过程，他们对“数形结合”的感知，他们的观察能力、想象能力，他们的求异思维、创新思维，都在不知不觉间获得了提升。

    除了依托情境、过程、形式等发展学生的思维，我一直强调，任何一个教学的元素，哪怕是课件、教具、学具、多媒体、板书等，也都应努力体现“助推学生思维深入”的功效。