8月15日由中国教师报组织的河南省南阳市城乡一体化示范区教育中心暑期高研班活动结束了，而北京市特级教师张宏伟上的一节数学课却引发了围观教师的热议。有人从他的课上看到了对学生的尊重，有人感叹他对课堂细节的把握，有人则被张宏伟春风化雨般的教育智慧所折服。本期我们特编发本节课的压缩版的课堂实录和两篇观课笔记。以飨读者。

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    课前

    教师和学生一起玩数学扑克牌魔术，放松学生身心，拉近师生关系，引发学生对数学的好奇心，同时引入不确定情况的处理——把所有的可能都想到，并做好相应的应对方案，最终将“不确定”转化为“确定”，从容应对各种情况，顺利解决问题。

    课中

    一、通过图片了解铁皮匠这个职业

    二、学生初做铁皮匠入门题

    一张长方形铁皮，长20米，宽15米，从这块铁皮身上剪掉一块边长5米的正方形铁片后，剩下的铁皮周长是多少？

    1. 学生自己读题，尝试解答。同时，教师观察并统计每个学生的解答情况。

    2. 教师现场统计结果：

    （1） 画图理解题意的7人，其余都是阅读题目后直接解答。

    （2） 全班36人，其中1人：20×15=300（平方米），5×5=25（平方米），300-25=275（平方米）；4人正确求出从一角减后剩下的铁皮周长70米；其余31人都是用原来的-剪去的=剩下的这样的思路解答，即（20+15）×2=70米，5×4=20（米），70-20=50（米）。

    3. 教师向学生公布统计结果：若本题满分100分，全班36人，得33.3分4人，0分32人。（学生很感意外）

    教师宽慰学生：别有压力。原因有三：正因为都不会，所以这道题才更有研究价值，更能看见自己的成长；这道题综合性很强、很难，暑假又过了这么长时间，知识遗忘是很正常的；更重要的是：教师出示“听过不如看过，看过不如做过，做过不如______”，学生开心地说：错过！

    教师：错过的题，让你印象更深。解题中存在的最大问题是急于解决问题。我们拿到题一定不要急着做，首先要充分、深度理解题意，题意理解透了，再做就不容易出错了。

    三、 你觉得怎样才能充分、深度理解题意

    1.学生反馈：

    （1）反复读（师点赞：书读百遍，其意自现）。

    （2）圈出关键词、关键句，反复理解。

    （3）每个字、每句话都要读明白。

    （4）按照题目的意思，动手剪剪看。

    师：赞！听过不如看过，看过不如做过！你们带铁皮和剪刀了吗？（学生笑：没有）

    师：都没带那怎么办？学生说出了第四种深度理解题意的方法——

    （5）画图。

    师：画图是最重要的深度理解题意的方法，数学上很多“动手做”可以用画图来替代。比如这道题，可用图代表铁皮，以笔为刀，用思维来剪。遗憾的是，刚才只有7名同学画图，希望以后同学们多用画图的方法理解题意，把每句话、每个字都理解透了再做题。

    2. 学生再次独立反复读题，圈出关键点，画图进一步理解题意。（同时，教师提醒刚才解题得到33.3分的同学思考：为什么做对了，却不能得到满分，看看通过画图能发现什么）通过再次理解题意，大多数学生画图如下，但很多人的解法还是用“原来的铁皮-减去的铁皮=剩下的铁皮”。

    3.教师引导学生认识到：图画的不到位，没有标注所有数据和问题(含顺序编号)，于是学生进行第三次深度理解题意：

    四、比较变化前后思考方法的产生

    1.教师引导学生再次深度理解周长的概念，用完全不同的思路求周长进行验证。〔15+20+10+5+5+15=70（米）〕，证明了“原来的-剪去的=剩下的，即（20+15）×2=70米，5×4=20（米），70-20=50（米）”是错误的。

    2.学生示意不要这么麻烦，并展示了自己的简捷做法：（20+15）×2=70（米）。

    有的学生小声说，这不是求原来长方形铁皮的周长吗？

    这几个孩子讲解：剩下的铁皮和原来的铁皮周长就是一样，你们看，其实④⑤边就是  折到里面去了，所以没变。有的孩子给出第二种思考，把④移到下面，把⑤移到右面，就是原来的长方形。有的学生给出第三种思考：剪掉了两条  ，但是又出来了两个条（④⑤），此时全体学生都理解了这种做法。

    3. 教师总结：这种做法最牛的地方就是，把变化前和变化后进行对比，寻找变化前后的关系，找出规律，能让我们更准确、更简捷地解决问题。同时板书：

    五、警惕旧经验

    1.征得学生本人的同意，板书学生刚上课时的第一次解答方案：20×15=300（平方米），5×5=25（平方米），300-25=275（平方米），并让学生讲述自己出错的原因“算成求剩下的面积了”。

    2.教师追问全班学生：如果问题改成求剩下的铁皮面积是多少，用“原来的-剪去的=剩下的”对不对？（学生坚定地回答：对！）

    师：“从一年级到三年级，我们一直认为“原来的-剪去的=剩下的”总是对了，你发现用到周长里还对吗？（就不对了）。所以很多原来正确的东西一旦用到新的问题、新的环境、新的事物中会怎样？（学生表示，有的能用，有的就不能用了）

    师：“原来的面积-剪去的面积=剩下的面积”在这里能用，到了五年级学表面积又不能用了。所以我们以前解决问题的办法、经验，碰到新的情境一定要慎重，一定要思考和重新证明。（学生表示，到底还能不能用）

    六、 危险的不确定信息

    1.你们用两种方法算出了它的周长，但是仍然只能得到33.3分，为什么？

    （学生表示迷茫）

    2.师：其实你们对这道题目还没有理解到位，许多题目就像我们课前玩的魔术一样，有确定的信息，也有不确定的信息，而不确定的信息是最危险的，它是造成我们做题出错的最大原因。

    3.教师引导学生第四次审题，指判断题中的确定信息和不确定信息。最后学生在“从这块铁皮身上剪掉一块边长5米的正方形铁片”找出——在哪里剪不确定。

    师：不确定的信息，一定包括所有的可能。剪的位置有几种可能？学生很快想出三类：从角上剪（上文图），从边上剪和从中间剪（见下图）。

    师：怎样能又快、又准地解决问题？（生：和原来的长方形对比）

    通过对比，学生很快得出结论：从角上剪，剪掉两条边，生出两条，所以周长不变，还是70米；从边上剪，减去了一条边，生出三条，周长增加了两个边长，是90米；从中间剪，一条都没有剪掉，新生了4条边，周长增加了20米。为了帮助学生理解环形周长，教师可以借助下图操作（从A点剪开，就能看出内部其实也是环形阴影的周长）。

    4. 巩固：如果剪掉一个边长6米的正方形，剩下的铁皮周长是多少？

    5. 拓展：比较甲数×3 和甲数的大小。学生自己完成解释：甲不确定，分三类思考，即甲=0，甲×3=甲；甲＞0，甲×3＞甲；甲＜0，甲×3＜甲。

    七、学生总结这节课有哪些新的成长和收获（略）

    课外——延伸和再突破

    1. 把原题改为：从这块铁皮身上剪掉一块边长a米的正方形铁片后，剩下的铁皮周长是多少？（学生如上分为从角、边、中剪，并给出结果）

    2.教师：不好意思，又出意外了，你们又得不到满分了，知道问题出在哪里吗？学生恍然大悟，这道题有了两个不确定因素，边长a也是不确定的。这个问题留给你们课外挑战好吗？（学生充满斗志地说：好！）

    （作者系北京市特级教师、江苏省南京赫贤学校学术总监）