□杭州师范大学理学院 戚方柔

初等数学教学总体强调两个方面：一方面包括基础知识和基本技能，即对教材中的数学概念、公式、法则、定理和公理等的了解和掌握；另一方面包括基本活动经验和思想，强调学科素养的形成和发展。数学思想作为数学学习不可分割的一部分，往往对学生思辨能力和解题能力产生潜移默化的影响。

一、“高观点”下数学教育的意义

高等数学思想使原有认知与新知识之间产生包摄关系，形成下位学习，利于学生迁移，有利于学生实践创新能力的培养。教师从高等数学角度审视和分析中学数学问题，能够高屋建瓴，对教材进行再创造，使学生掌握一定的高等数学思想，使一些复杂数学问题变得明朗化，提高学生的思维能力。

离散知识点常常使大部分学生产生知识混淆，而高等数学思想在各个知识点之间形成桥梁，有利于学生进行知识建构，形成整体框架。

在学生学习高等数学思想时，适当地指出知识背景及其与初等数学之间的联系。有利于学生开拓思维，增加学习积极性，形成一定的思辨能力。在教学中，教师要注意启发，在一定程度上改变初等数学与高等数学脱节的现象。

二、“高初结合”的应用

教师应该寻找高初数学之间的结合点，用“高观点"指导学生的数学学习。

1.知识体系完善

许多教师对知识处理还仅仅局限在纯粹的逻辑演绎，很少给学生独立思考的时间和机会。在初等数学教材中，存在一些不易交代清楚的知识，例如：实数为什么和数轴存在一一对应关系？最小整数到底是多少？双曲线、抛物线等为什么称为圆锥曲线？实数与自然数到底孰多孰少？要明晰这些问题，就要了解它们在高等数学中的背景和发展过程，必要地引入数学史，揭示知识点蕴含的辩证思想方法，联系邻近概念体系。

学生对圆面积公式已经非常熟悉。初学圆面积公式时，教材是将圆平分成若干份，再将这些小碎片拼成一个近似的平行四边形，平行四边形高为半径，长为圆周长的一半，从而由平行四边形面积计算得到圆面积公式。该种方法实则也用到高等数学中的极限思想，然而由于小学阶段学生思维能力的局限性，许多学生对该种方法严密性一直存在质疑。在中学阶段，教师可适当通过微积分思想对该疑问以及其他难以严格证明的定理、公理等进行讲解证明。

2.多题型同思想

回顾中学数学教材，在函数性质、几何问题，以及数列求和等问题中都能看见极限思想和微积分思想等高等数学思想的融入。

函数极值和最值解法数不胜数，例如标准量代换法、配方法、柯西不等式求解法等，而利用导数求解则最为直接和简便，同时也一直是高考热点。该种解决问题思路使复杂问题变得简单化，充分培养学生的缜密逻辑思维能力。

函数不再是单纯幂函数的组合，而是加入对数函数，如果用除导数之外的方法，就会非常困难。学生需要充分考虑导数和函数的单调性联系，准确求出函数极值和最值。

运用微积分思想解决不等式问题是如今的亮点题，具有一定创新性，根据定积分几何意义和特定不等式题目背景，对学生的知识迁移能力、题目理解能力、转化意识程度，以及知识应用能力等进行综合考查。

3.初等数学问题简化

高等数学思想在一定程度上简化了初等数学问题的解决。许多初等数学问题传统解法较为复杂，高等数学思想为学生开辟了新思维领域，这些思想和方法不仅在中学适用，在学生往后学习中更为常用，对培养学生的应用能力和转化思想也有积极作用。

函数和不等式结合综合试题层出不穷，传统做法是先求导再利用函数单调性进行解答，但由于题目往往需要分类讨论而使题目略显复杂。此处引入极限思想避免繁琐讨论或放缩，进一步提高学生思维水平。

三、教学策略

教育者需要有意识地加强高等数学思想在初等数学中的应用，明晰高初数学之间的联系，才能在教学中做到高屋建瓴。

1.专题研究

教师要深入钻研教材，查阅相关材料，明确教材中每一章每一节知识背后所蕴含的思想方法，挖掘初等数学问题与高等数学思想之间的结合点。开展各个“高初结合”专题学习和训练，使学生在系统构建知识的基础上，开拓思维，内化知识。

另外，“高初结合”问题的解决特点在于技巧性和程序性，教师要贯彻量力原则，充分考虑课程难度和学生的可接受程度，不可选择太复杂或偏门的高等知识，由浅入深、由易到难、由简到繁，循序渐进，合理安排教学。

2.解题训练

数学思想方法的掌握需要经过一个反复认识和运用的过程。教师可在平日考试中加入体现数学思想方法的典型题目，在原有认知与新知识之间形成纽带，潜移默化地培养学生各方面的学科素养，并做好评价和指导工作。

教师要抓住数学知识的本质，加强课外资源开发，发展学生实践应用能力，并鼓励学生进行推理和检验，对学生思维进行有意识的训练，促进学生将理论和实践相结合，将极限思想、微积分思想、夹逼思想和确界原理等高等数学思想方法渗透到初等数学解题中，激发学生学习数学的积极性和创造性。

3.双重要求

教师要根据教学内容的特点和学生认知规律选择适当的教学方法，合理采用启发式或发展式教学模式。一方面抓住课程特点，挖掘高初数学结合点和教学设计切入点，使学生掌握知识的同时，通过独立思考、发现、猜测、验证、创新等过程，达到高于知识的教学目标程度。

另一方面，教师要持续关注学生发展，注重学生的学习过程，因材施教，引导学生从高角度分析数学知识的发生和发展，揭示知识的实质，将概念、法则和命题等教懂教活，运用高等数学思想，将抽象数学理论尽量形象化，指导初等数学问题的解决。