题文

毛毛参加一次数学竞赛，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答不得分也不扣分。他答了20道题，得了60分。毛毛答对了几道题？

题型：解答题  难度：中档

答案

假设答对20道题，则共得分：20×4=80（分） 错题数：（80-60）÷（4+1）=4（道） 对题数：20-4=16（道）

据专家权威分析，试题“毛毛参加一次数学竞赛，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，..”主要考查你对  鸡兔同笼  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

鸡兔同笼

考点名称：鸡兔同笼

• 鸡兔同笼:
  是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。
  是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。

• 解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。
  即假设全是鸡或是全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。最后求出另一种动物（鸡或兔）的只数。
  基本数量关系式，可分两个方面：
  ①假设全是鸡，则有：兔的只数=（总足数-2×总头数）÷2；鸡的只数=总头数-兔子只数。
  ②假设全是兔，则有：鸡的只数=（4×总头数-总足数）÷2；兔的只数=总头数-鸡的只数。

• 鸡兔同笼公式:
  公式1：
  （兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
  总只数－鸡的只数=兔的只数
  公式2：
  （总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数
  总只数－兔的只数=鸡的只数
  公式3：
  总脚数÷2—总头数=兔的只数
  总只数—兔的只数=鸡的只数
  公式4：
  鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔
  总只数-鸡的只数
  公式5：
  兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔
  总只数-兔总只数
  公式6：
  （头数x4-实际脚数）÷2=鸡
  公式7 ：
  4×+2(总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

  例1 、（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
  分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
  解：
  ①鸡有多少只？
  （4×6-128）÷（4-2）
  　=（184-128）÷2
  　=56÷2
  　=28（只）
  ②免有多少只？
  46-28=18（只）
  答：鸡有28只，免有18只。
     这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡。我们称这种解题方法为假设法。
  解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
  鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
  兔数=鸡兔总数-鸡数　　
  当然，也可以先假设全是鸡。
  　　
  例2 、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
  分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
  假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
  解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
  100-20=80（只）。
  答：鸡与兔分别有80只和20只。

• 常见思想:
  中国古代：
  孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。
  翻译成算术方法就是：
  兔数（94÷2）－35＝12
  鸡数35－12＝23
  这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

  美国数学家
  美国杰出数学教育家G ?波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。
  这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。