题文

将三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数正好是91的倍数，试求ab=？

题型：解答题  难度：中档

答案

因为91=7×13，并且7与13互质，所以，7能整除 . 3ab3ab…3ab ，13能整除 . 3ab3ab…3ab ； 根据一个数能被7或13整除数的特征可知： 原数 . 3ab3ab…3ab 能被7以及13整除，当且仅当 . 3ab…3ab （1992组 . 3ab ）- . 3ab 能被7以及13整除，也就是 . 3ab…3ab000 （1991组）能被7以及13整除； 因为7与10互质，13与10互质，所以，7能整除 . 3ab…3ab000 （1991组），13能整除 . 3ab…3ab000 （1991组），也就是7能整除 . 3ab…3ab （1991组），13能整除 . 3ab…3ab （1991组），因此，用一次性质（特征） ，就去掉了两组 . 3ab ，反复使用性质996次，最后转化为：原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除； 又因为91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3； 所以， . 3ab =364； 因此，ab=64．

据专家权威分析，试题“将三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数正好是91..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除