题文

试求三个不同的自然数a，b，c，使其中任两个数的积都能被他们的和整除（即a×b÷（a+b），a×c÷（a+c），b×c÷（b+c）都是整除）．

题型：解答题  难度：中档

答案

取a'=1，b'=2，c'=3，于是a'+b'=3，b'+c'=5，c'+a'=4．而3，4，5的最小公倍数为60． 取d=60，于是，a=a'd=60，b=b'd=120，c=c'd=180，这时有： a×b÷（a+b）=60×120÷（60+120）=40； b×c÷（b+c）=120×180÷（120+180）=72； c×a÷（c+a）=180×60÷（180+60）=45． 所以，60，120，180是符合条件的三个数． 从解题过程中可知，满足（a'，b'，c'）=1的a'，b'，c'不唯一，故本题解法也不唯一． 例如取a'=2，b'=3，c'=5，则a'+b'=5，b'+c'=8，c'+a'=7，而5，7，8的最小公倍数[5，7，8]=280，又可找到一组a，b，c．它们分别是： a=a'd=560，b=b'd=840，c=c'd=1400．

据专家权威分析，试题“试求三个不同的自然数a，b，c，使其中任两个数的积都能被他们的和..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除