题文

观察以下的运算： 若 . abc 是三位数，因为 . abc =100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c） 所以，若a+b+c能被9整除， . abc 能被9整除． 这个结论可以推广到任意多位数． 运用以上的结论，解答以下问题： （1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数． （2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）2011×2=4022； 4022÷9=446…8， 所以N被9除，得到的余数是8； （2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以不妨设n=9k+3， 则7n=7（9k+3）=63k+21=（63k+18）+3=9（7k+2）+3； 那么N-3的各个数位上数字和为7n-3=9（7k+2）能被9整除，所以N-3能被9整除，所以N被9除的余数也是3． 答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3．

据专家权威分析，试题“观察以下的运算：若.abc是三位数，因为.abc=100a+10b+c=99a+9b+..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除