题文

已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？ （例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）

题型：填空题  难度：中档

答案

12=22×3，300=22×3×52， a=12或a=12×5=60或a=12×25=300； 当a=12时，b=12或b=12×5或b=12×25； 当a=60，300时，b都只能取12； 满足条件的a、b共有5组： a=12，b=12； a=12，b=60；a=12，b=300；a=60，b=12； a=300，b=12； 对于a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值： 25，50，100，75，150，300． 所以满足条件的自然数a、b、c共有：5×6=30（组） 答：满足上述条件的自然数a，b，c共有30组．

据专家权威分析，试题“已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公..”主要考查你对  最大公因数（最大公约数），最小公倍数  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最大公因数（最大公约数），最小公倍数

考点名称：最大公因数（最大公约数），最小公倍数

• 最大公因数（最大公约数）：
  任何两个自然数都有公因数1，（除零以外）公因数中（几个）最大的称为最大公因数；
  最小公倍数：
  在两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数中，最小的称为这些整数的最大公倍数。

• 最大公约数的求法：
  （1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。
  （3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。
  如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
  
  最小公倍数的方法：
  （1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求。
  （3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
  如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。