题文

一个正整数，它的5倍的约数比它的约数多5个．并且它与10!（即1×2×3×…×10）的最大公约数是35．这个正整数是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

设这个数为a， 则这个数a的因数中一定有5和7， 且因数5的个数只能有一个，否则与10的阶乘矛盾， 所以这个数的因数的个数一定是偶数个，那么它的5倍的数的因数的个数多5个， 它的5倍的数的因数的个数一定是奇数个， 可得：它的5倍的数是完全平方数，所这个数的因数7一定至少有2个， 又因a=5m×7n×k， 2×5=10， 即（1+1）×（4+1）=10， 所以m=1，n=4，k=1，则a=5×74=12005， 通过检验可得a=5×74=12005，（因数的个数是10个）； 5a=52×74=60025，（因数的个数是15），符合要求； 答：这个正整数是12005． 故答案为：12005．

据专家权威分析，试题“一个正整数，它的5倍的约数比它的约数多5个．并且它与10!（即1×2×3..”主要考查你对  最大公因数（最大公约数），最小公倍数  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

最大公因数（最大公约数），最小公倍数

考点名称：最大公因数（最大公约数），最小公倍数

• 最大公因数（最大公约数）：
  任何两个自然数都有公因数1，（除零以外）公因数中（几个）最大的称为最大公因数；
  最小公倍数：
  在两个或两个以上的自然数中，如果他们有相同的倍数，这些倍数中，最小的称为这些整数的最大公倍数。

• 最大公约数的求法：
  （1）用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求两个数的最大公约数。
  （3）特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。
  如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。
  
  最小公倍数的方法：
  （1）用分解质因数的方法，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘。
  （2）用短除法的形式求。
  （3）特殊情况：如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
  如果两个数中较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。