题文

有没有最小的正整数？有没有最小的整数？有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？有没有最小的实数？有没有绝对值最小的实数？

题型：解答题  难度：中档

答案

有最小的正整数1，没有最小的整数，没有最小的有理数，没有最小的无理数，没有最小的实数，有绝对值最小的实数0。

据专家权威分析，试题“有没有最小的正整数？有没有最小的整数？有没有最小的有理数？有没有..”主要考查你对  有理数定义及分类，实数的比较大小，无理数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类实数的比较大小无理数的定义

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：实数的比较大小

• 实数的比较大小法则：
  正实数都大于0，负实数都小于0；
  正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小；
  在数轴上，右边的数要比左边的大。
  

• 实数比较大小的具体方法：
  （1）求差法：
  设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据
  “当a-b<0时，a<b；当a-b=0时，a=b；当a-b>0时，a>b”来比较a与b的大小。
  （2）求商法：
  设a，b（b≠0）为任意两个正实数，先求出a与b的商，再根据
  “当<1时，a<b；当=1时，a=b；当>1时，a>b”来比较a与b的大小；
  当a，b（b≠0）为任意两个负实数时，再根据
  “当<1时，a>b；当=1时，a=b；当>1时，a<b” 来比较a与b的大小。
  （3）倒数法：
  设a，b（a≠0，b≠0）为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据
  “当<时，a>b；当>时，a<b。”来比较a与b的大小。
  （4）平方法：
  比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据
  “在a＞0，b＞0时，可由a²>b² 得到a＞b”比较大小。
  也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。
  还有估算法、近似值法等。
  两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
  （5）数轴比较法：
  实数与数轴上的点一一对应。
  利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。
  设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。
  如图，点A表示数a，点B表示数b。因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.

考点名称：无理数的定义

• 无理数定义：
  即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
  无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。

• 无理数性质：
  无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数 
  性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
  性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数 
  性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数 
  性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数

• 无理数与有理数的区别：
  1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
  比如：4=4.0，=0.8，=0.33333……
  而无理数只能写成无限不循环小数，
  比如：=1.414213562…………
  根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；
  2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。

• 无理数的识别：
  判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
  初中常见的无理数有三种类型：
  （1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
  （2）化简后含π的式子；
  （3）不循环的无限小数。
  掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

• 无理数的历史：
  毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。