题文

平面上任意五个点都落在格点上，试证明至少有二个点连线的中点也在格点上．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：由中点坐标公式知，坐标平面两点（x1，y1）、（x2，y2）的中点坐标是（ x1+x2 2 ， y1+y2 2 ）． 欲使 x1+x2 2 和 y1+y2 2 都是整数，必须而且只须x1与x2，y1与y2的奇偶性相同． 平面上格点的坐标是以下四种情况：（奇数，奇数），（奇数，偶数），（偶数，偶数）， （偶数，奇数）由于五个点都落在格点上，肯定有二个格点的坐标情况相同， 根据整数的奇偶性质，则他们连线的中点坐标也一定是以上四种情况之一． 故至少有二个点的中点的连线也在格点上．

据专家权威分析，试题“平面上任意五个点都落在格点上，试证明至少有二个点连线的中点也..”主要考查你对  有理数定义及分类，逻辑推理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类逻辑推理

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：逻辑推理

• 定义:
  把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理。简而言之可以理解为宇宙中任意基本“原件”的排列组合得出的现象或概念，属于唯心主义范畴。假如存在不同的感知系统，对于“同一组基本原件”在特定时空的排列组合方式所呈现的现象或概念，可以得出不同的逻辑推理方式。

  基本依据：
  当对一个命题的正确性进行判断时，一个东西不能同时是什么又不是什么，不可能同时是甲又是乙，如果出现这种情况，就说明在逻辑上是矛盾的。
  
  一般解法：
  从某一个条件出发，根据其他条件进行正确推理，如果最后得到的结论满足全部条件而不出现矛盾，这就是所要求的方案；如果得到相互矛盾的结果，就必须改换其他条件重新开始，知道得出满足条件的方案为止。

• 逻辑中有三种逻辑推理的方式：
  演绎、归纳和溯因。给定前提、结论和规则，而前提导致结论，则可分别解释如下：
  
  演绎用来决定结论 。它使用规则和前提来推导出结论 。数学家通常使用这种推理。
  举例："若下雨，则草地会变湿。因为今天下雨了，所以今天草地是湿的。"。
  
  归纳用来决定规则 。它借由大量的前提和结论所组成的例子来学习规则 。科学家通常使用这种推理。
  举例："每次下雨，草地都是湿的。因此若明天下雨，草地就会变湿。"。
  
  溯因用来决定前提 。它借由结论和规则来支援前提以解释结论 。诊断和侦探通常使用这种推理。
  举例："若下雨，草地会变湿。因为草地是湿的，所以曾下过雨。"

• 6大逻辑推理技巧: 
  1. 计算推导:
  计算推导是逻辑推理过程中最基本的方法。我们每个人从小学开始就学会做计算了，但是对于计算的用处究竟有多大，能够透露出多少隐藏在问题背后的信息，就不是人人都清楚的了。
  事实上，计算和其他推理技巧一样，都是我们进行逻辑推理时最基本、最可靠的工具，特别是在运用代数的方法来解决问题时，它往往能暴露问题的本质，使我们得出充足、可靠的结论。但是要注意:计算推导一定要完备，不能漏掉任何一种情况，哪怕这种情况的出现是如此的不正常。
  
  2. 演绎推理:
  演绎是一种由一般到个别的推理方法。在演绎推理过程中，前提和结论之间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围。
  对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征。
  演绎推理中有一种特殊的方法，称为递推。所谓递推，就是利用研究对象之间的联系，用前一步的结论去推导下一步的结论，以达到简化问题的目的。递推是一种非常有效的思考方法，它有点像多米诺骨牌，推倒第一块以后，后面的骨牌就会依次倒下。如果能够熟练运用递推技巧，你会发现，许多看上去很难的题目也可以轻松地找到答案。
  
  3.归纳分类:
  归纳是一种由个别到一般的推理方法。与演绎推理不同，归纳推理得出的结论不一定绝对正确，所以有时我们称它具有或然性。但归纳推理中有一种特殊的完全归纳推理，应用完全归纳推理时，只要我们考察了该类事物的全部对象，那么结论就必然是完全真实的。
  在进行归纳推理时，一个很重要的技巧就是要对它们进行分类，把它们分成若干个小组，然后分别进行分析。分类可以使每一部分的研究对象都比原来的问题更简单，相互之间的关系更清晰。
  
  4.反向思考:
  反向思考是解决逻辑推理问题的一种特殊方法。任何一个问题都有正反两个方面。所谓正难则反，很多时候，从正面解决问题相当困难，这时如果从其反面去想一想，常常会茅塞顿开，获得意外的成功。这就是反向思考。
  在进行逻辑推理时，有时已知的条件很多，能够运用的逻辑关系也很复杂，要从众多的可能性中寻找所需要的结果，往往是非常困难的。这时，我们可以运用反向思考方法，从结果出发，排除掉一些不可能的情况，使剩下的情况减少，便于我们最后的分析。如果情况减少到一定程度，我们甚至可以用穷举的方法，依次考察所有情况，从而找到问题的答案。
  
  5. 图表分析:
  在逻辑思考过程中有这样一些问题，所涉及或所列出的事物情况比较多，而且又具有一定的表列特征，这时候如果我们把它转化成一个直观易读的图形或者表格，就会非常容易地迅速寻找到答案。
  图表会给我们指出一些逻辑关系链，它们限制了选择的可能性，使得我们需要考虑的情况得到极大的简化。假如不利用图表的帮助，单凭想像，则往往容易产生混乱，难于理清头绪。 除了用图表来展现我们看到的问题以外，有时候我们还需要研究别人提供的图表。这时，看出图像的本质就很重要了。
  有一种常见的方式剥出图像的本质，那就是染色。所谓染色，就是将研究对象按照一定的要求涂上颜色来解决问题。实质上，染色就是利用图形和颜色来进行分类，从而更加直观地显现出问题的本质。