题文

已知正整数m，n都是质数，并且7m+n，mn+11也是质数，试求（mn）n+（nm）m的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵mn+11为质数，且mn+11＞11， ∴mn+11为奇质数， 故mn为偶数，又m，n为质数，所以m，n中至少有一个为2．（5分） （1）当m=n=2时，mn+11=15不为质数，矛盾．（10分） （2）当m=2，n≠2时，由n+14，2n+11均为质数可知n=3， 否则，当n=3k+1（k为正整数）时，n+14=3k+15=3（k+5）为合数，矛盾； 当n=3k+2时，2n+11=6k+15=3（2k+5）为合数，矛盾； 故n=3，此时，mn+11=17，7m+n=17均为质数，符合题意．（15分） （3）当n=2时，mn+11=2m+11，7m+n=7m+2，它们均为质数，此时必有m=3， 否则令m=3k+1，mn+11=6k+12=6（k+2）为合数，矛盾； 令m=3k+2，7m+n=21k+9=3（7k+3）为合数，矛盾； 故m=3．（20分） 所以（m，n）=（2，3），（3，2）． 所以（mn）n+（nm）m=593．（25分） 故答案为：593．

据专家权威分析，试题“已知正整数m，n都是质数，并且7m+n，mn+11也是质数，试求（mn）n+（..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数