题文

试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n-2中，必有一个数A与n互质（2≤A≤n-2）， 记B=n-A≥2，有n=A+B， 此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾． （1）当n为奇数时， n=2+（n-2），或n= n-1 2 + n+1 2 （2）当n为偶数，但不是4的倍数时，n= n-4 2 + n+4 2 ， 由n＞6知 n-4 2 ＞1，且 n+4 2 、 n-4 2 均为奇数， （ n-4 2 ， n+4 2 ）=（ n-4 2 ，4）=1． （3）当n为偶数，且又是4的倍数时，有n= n-2 2 + n+2 2 ， 由n＞6知 n-2 2 ＞1，且 n-2 2 、 n+2 2 均为奇数， （ n-2 2 ， n+2 2 ）=（ n-2 2 ，2）=1．

据专家权威分析，试题“试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数..”主要考查你对  有理数定义及分类  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{