题文

现有一个正方形材料，若用它做成一个最大的圆，且圆的面积是13πcm2，请你估计一下正方形的边长。（误差不超过0.1cm，有解题过程）

题型：解答题  难度：中档

答案

7.2cm

据专家权威分析，试题“现有一个正方形材料，若用它做成一个最大的圆，且圆的面积是13πc..”主要考查你对  算术平方根，圆的认识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

算术平方根圆的认识

考点名称：算术平方根

• 概念：
  若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。
  规定：0的算术平方根是0。
  表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
  注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
  

• 平方根和算术平方根的区别与联系：
  区别：
  （1）定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
  （2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。
  （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。
  （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
  联系：
  （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。
  （2）存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
  （3）0的平方根，算术平方根均为0。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
  注：
  （1）平方和开平方的关系是互为逆运算；
  （2）乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；
  （3）开方的方式是根号形式。

•  

• 电脑根号的打法：
  比较通用：
  左手按住换档键（Alt键）不放，接着依次按41420然后松开左手，根号√￣就出来了。
  运用Word的域命令在Word中根号：
  首先按住Ctrl+F9，出现{}后，在{}内输入EQ空格\r（开方次数，根号内的表达式），最后按住Shift+F9，就会生成你所要求的根式
  1.平方根
  一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如 9 的平方根是3，-3。而5的平方根是√5，-√5。规定，零的平方根是0。负数没有平方根。
  2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定，零的算术平方根是0。
  算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。
  3.实数a的算术平方根记作√￣a，其中a≥0，根据以上定义有√￣a≥0。

考点名称：圆的认识

• 圆的定义：
  圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
  在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
  
  相关定义:
  1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
  2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
  3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。
  4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
  5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
  6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
  7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
  8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
  9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
  10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
  11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
  12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
  
  圆的集合定义：
  圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

• 圆的字母表示：
  以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
  圆—⊙ ；
  半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；
  弧—⌒ ；
  直径—d ；
  扇形弧长—L ；                            
  周长—C ；                              
  面积—S。
  
  圆的性质:
  （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
  圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
  垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
  逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
  （2）有关圆周角和圆心角的性质和定理
  ① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
  ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
  直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
  圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
  即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
  ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
  （3）有关外接圆和内切圆的性质和定理
  ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
  ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
  ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
  ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）
  ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
  
  （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
  （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
  （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
  （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
  （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

• 点、线、圆与圆的位置关系：
  点和圆位置关系
  ①P在圆O外，则 PO>r。
  ②P在圆O上，则 PO=r。
  ③P在圆O内，则 0≤PO<r。
  反过来也是如此。
  
  直线和圆位置关系
  ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。
  ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<r。
  ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）
  
  圆和圆位置关系
  ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
  ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
  ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
  设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；
  内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。

• 圆的计算公式:
  1.圆的周长C=2πr=或C=πd
  2.圆的面积S=πr2
  3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）
  4.扇形面积S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
  5.圆的直径 d=2r
  6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）
  7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
  
  圆的方程:
  1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是
  （x-a）²+（y-b)²=r²。
  特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x²+y²=r²。
  
  2、圆的一般方程：方程x²+y²+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）²+（y+E/2）²=（D²+E²-4F）/4.故有：
  ①当D²+E²-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D²+E²-4F）/2为半径的圆；
  ②当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；
  ③当D²+E²-4F<0时，方程不表示任何图形。
  
  3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）
  圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0
  圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
  经过圆x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a₀·x+b₀·y=r²
  在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a₀·x+b₀·y=r²。

• 圆的历史:
        圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
         约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
        会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
         任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。