现有一个正方形材料,若用它做成一个最大的圆,且圆的面积是13πcm2,请你估计一下正方形的边长。(误差不超过0.1cm,有解题过程)-八年级数学

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题文

现有一个正方形材料,若用它做成一个最大的圆,且圆的面积是13πcm2,请你估计一下正方形的边长。(误差不超过0.1cm,有解题过程)
题型:解答题  难度:中档

答案

7.2cm

据专家权威分析,试题“现有一个正方形材料,若用它做成一个最大的圆,且圆的面积是13πc..”主要考查你对  算术平方根,圆的认识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

算术平方根圆的认识

考点名称:算术平方根

  • 概念:
    若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x为a的算术平方根。
    规定:0的算术平方根是0。
    表示:a的算术平方根记为,读作“根号a”。
    注:只有非负数有算术平方根,而且只有一个算术平方根。

  • 平方根和算术平方根的区别与联系:
    区别:
    (1)定义不同:如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
    (2)个数不同:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个。
    (3)表示方法不同:正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为
    (4)取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数;正数的平方根一正一负,两数互为相反数。
    联系:
    (1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种,是正的平方根。
    (2)存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根。
    (3)0的平方根,算术平方根均为0。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
    注:
    (1)平方和开平方的关系是互为逆运算;
    (2)乘方是求根的途径,开平方是一种运算,是求平方根的过程;
    (3)开方的方式是根号形式。

  •  

  • 电脑根号的打法:
    比较通用:
    左手按住换档键(Alt键)不放,接着依次按41420然后松开左手,根号√ ̄就出来了。
    运用Word的域命令在Word中根号:
    首先按住Ctrl+F9,出现{}后,在{}内输入EQ空格\r(开方次数,根号内的表达式),最后按住Shift+F9,就会生成你所要求的根式
    1.平方根
    一个正数的平方根有两个,它们互为相反数。比如 9 的平方根是3,-3。而5的平方根是√5,-√5。规定,零的平方根是0。负数没有平方根。
    2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定,零的算术平方根是0。
    算术平方根是定义在平方根基础上,因此负数没有算术平方根。
    3.实数a的算术平方根记作√ ̄a,其中a≥0,根据以上定义有√ ̄a≥0。

考点名称:圆的认识

  • 圆的定义:
    圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆。
    在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。

    相关定义:
    1 在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度,就是圆的周长。
    2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径,字母表示为r。
    3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。
    4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
    5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧,劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧,也不是劣弧。优弧是大于180度的弧,劣弧是小于180度的弧。
    6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
    7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
    8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
    9 顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
    10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数,通常用π表示,π=3.14159265……在实际应用中,一般取π≈3.14。
    11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
    12 圆是一个正n边形(n为无限大的正整数),边长无限接近0但不等于0。

    圆的集合定义:

    圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,其中定点是圆心,定长是半径。

  • 圆的字母表示:
    以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作O”。
    圆—⊙ ;
    半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);
    弧—⌒ ;
    直径—d ;
    扇形弧长—L ;                            
    周长—C ;                              
    面积—S。

    圆的性质:
    (1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
    圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。
    逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。
    (2)有关圆周角和圆心角的性质和定理
    ① 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
    ②在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。
    直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
    圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
    即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
    ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
    (3)有关外接圆和内切圆的性质和定理
    ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
    ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
    ③R=2S△÷L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)。
    ④两相切圆的连心线过切点。(连心线:两个圆心相连的直线)
    ⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。

    (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。
    (5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
    (6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
    (7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
    (8)周长相等,圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

  • 点、线、圆与圆的位置关系:
    点和圆位置关系
    ①P在圆O外,则 PO>r。
    ②P在圆O上,则 PO=r。
    ③P在圆O内,则 0≤PO<r。
    反过来也是如此。

    直线和圆位置关系
    ①直线和圆无公共点,称相离。 AB与圆O相离,d>r。
    ②直线和圆有两个公共点,称相交,这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交,d<r。
    ③直线和圆有且只有一公共点,称相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。(d为圆心到直线的距离)

    圆和圆位置关系
    ①无公共点,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含。
    ②有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切。
    ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
    设两圆的半径分别为R和r,且R〉r,圆心距为P,则结论:外离P>R+r;外切P=R+r;内含P<R-r;
    内切P=R-r;相交R-r<P<R+r。

  • 圆的计算公式:
    1.圆的周长C=2πr=或C=πd
    2.圆的面积S=πr2
    3.扇形弧长L=圆心角(弧度制)× r = n°πr/180°(n为圆心角)
    4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2(L为扇形的弧长)
    5.圆的直径 d=2r
    6.圆锥侧面积 S=πrl(l为母线长)
    7.圆锥底面半径 r=n°/360°L(L为母线长)(r为底面半径)

    圆的方程:
    1、圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是
    (x-a)2+(y-b)2=r2
    特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2

    2、圆的一般方程:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有:
    ①当D2+E2-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以(√D2+E2-4F)/2为半径的圆;
    ②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2);
    ③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形。

    3、圆的参数方程:以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)
    圆的端点式:若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2),则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0
    圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
    经过圆x2+y2=r2上一点M(a0,b0)的切线方程为 a0·x+b0·y=r2
    在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0,b0)引该圆的两条切线,且两切点为A,B,则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2

  • 圆的历史:
          圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。
           约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子。
          会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也。意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。
           任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值,即π≈3.14.如果用C表示圆的周长:C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一",把圆周率看成3,但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时,发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术,认为圆内接正多连形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率,π= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之(公元429-500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个分数值来表示圆周率:22/7称为约率,355/113称为密率。 在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图(公元1573年)和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。