题文

观察下列各式及其验证过程： 验证：2 2 3 = 2+ 2 3 ； 验证：2 2 3 = 23 3 = (23-2)+2 22-1 = 2(22-1)+2 22-1 = 2+ 2 3 ； 验证：3 3 8 = 3+ 3 8 ； 验证：3 3 8 = 33 8 = (33-3)+3 32-1 = 3(32-1)+3 32-1 = 3+ 3 8 ． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）4 4 15 = 4+ 4 15 ．验证如下： 左边= 42×4 15 = 43-4+4 42-1 = 4(42-1)+4 42-1 = 4+ 4 15 =右边， 故猜想正确； （2）n n n2-1 = n+ n n2-1 ．证明如下： 左边= n2×n n2-1 = n3-n+n n2-1 = n(n2-1)+n n2-1 = n+ n n2-1 =右边．

据专家权威分析，试题“观察下列各式及其验证过程：验证：223=2+23；验证：223=233=(23-2)+..”主要考查你对  算术平方根  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

算术平方根

考点名称：算术平方根

• 概念：
  若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。
  规定：0的算术平方根是0。
  表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”。
  注：只有非负数有算术平方根，而且只有一个算术平方根。
  

• 平方根和算术平方根的区别与联系：
  区别：
  （1）定义不同：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。
  （2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个。
  （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。
  （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根一正一负，两数互为相反数。
  联系：
  （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，是正的平方根。
  （2）存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
  （3）0的平方根，算术平方根均为0。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
  注：
  （1）平方和开平方的关系是互为逆运算；
  （2）乘方是求根的途径，开平方是一种运算，是求平方根的过程；
  （3）开方的方式是根号形式。

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• 电脑根号的打法：
  比较通用：
  左手按住换档键（Alt键）不放，接着依次按41420然后松开左手，根号√￣就出来了。
  运用Word的域命令在Word中根号：
  首先按住Ctrl+F9，出现{}后，在{}内输入EQ空格\r（开方次数，根号内的表达式），最后按住Shift+F9，就会生成你所要求的根式
  1.平方根
  一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如 9 的平方根是3，-3。而5的平方根是√5，-√5。规定，零的平方根是0。负数没有平方根。
  2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如 9 的算术平方根是±3。而5的算术平方根是±√5。规定，零的算术平方根是0。
  算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。
  3.实数a的算术平方根记作√￣a，其中a≥0，根据以上定义有√￣a≥0。