题文

（本题8分）已知关于的方程的两实根为，且． ⑴试用含有的代数式表示和； ⑵求证：； ⑶若以为坐标的点在△ABC的三边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A，B，C，问是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）， （2）略 （3）M存在，M；

分析： （1）因为原方程有两个相等的实数根，故判别式△=（p+q+1）2-4p=（p+q-1）2+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1； （2）因为α≤β，故只需求（1-a）（1-β）≤0即可； （3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标。 解答： （1）∵α、β为方程x2-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根， ∴判别式△=（p+q+1）2-4p=（p+q-1）2+4q≥0， 且α+β=p+q+1，αβ=p， 于是p=αβ， q=α+β-p-1=α+β-αβ-1； （2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0）， 又α≤β， ∴a≤1≤β； （3）若使p+q=5/4 成立，只需α+β=p+q+1=9/4， ①当点M（α，β）在BC边上运动时， 由B（1/2，1），C（1，1）， 得1/2≤α≤1，β=1， 而α=9/4-β=9/4-1=5/4＞1， 故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（5/4，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点。 ②当点M（α，β）在AC边上运动时， 由A（1，2），C（1，1）， 得a=1，1≤β≤2， 此时β=9/4-α=9/4-1=5/4， 又因为1＜5/4＜2， 故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，5/4）； ③当点M（α，β）在AB边上运动时， 由A（1，2），B（1/2，1）， 得1/2≤α≤1，1≤β≤2， 由平面几何知识得（1-α）/（1-1/2）=（2-β）/（2-1）， 于是β=2α， 由β=2α且α+β=9/4 解得α=3/4，β=3/2， 又因为1/2＜3/4＜1，1＜3/2＜2， 故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（3/4，3/2）。 综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，5/4）和点（3/4，3/2），使p+q=5/4成立。 点评：此题较复杂，将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点．由于情况较多，需要分类讨论。

据专家权威分析，试题“（本题8分）已知关于的方程的两实根为，且．⑴试用含有的代数式表示和..”主要考查你对  一元二次方程的定义，一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的定义一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的定义

• 定义：
  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
  
  一元二次方程的一般形式：
  它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

• 方程特点；
  （1）该方程为整式方程。
  （2）该方程有且只含有一个未知数。
  （3）该方程中未知数的最高次数是2。
  
  判断方法：
  要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
  

• 点拨：
  ①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
  ②任何一个一元二次方程， 经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
  ③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
  ④项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
  ⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。