题文

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN． 设AM=x． （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S； （2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y，试求关于y的函数表达式，并求 x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

题型：解答题  难度：中档

答案

(1) S=?x?x=x2，（0＜x≤8）；(2) 当x=时，y有最大值，最大值为8．

试题分析：（1）先证明△AMN∽△ABC，则可根据相似三角形的对应边成比例求AN，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S； （3）先求出P点在BC上时AM的值，然后进行讨论：当0＜x≤4时，y=S=?x?x=x2，根据二次函数的性质得到x=4，y的最大值为6；当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF，利用矩形的性质可表示出PN=AM=x；再由平行四边形BFNM的性质解得FN=8-x，PF=2x-8，则可利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S△PEF值；然后写出y与x的解析式，再根据二次函数的性质求出y的最大值，最后综合两种情况即可． （1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， 即，解得AN=x， ∴△AMN的面积=?x?x=x2， ∵四边形AMPN是矩形， ∴S=?x?x=x2，（0＜x≤8）； （2）若P点在BC上时， ∵四边形AMPN是矩形， ∴O点为AP的中点， 而MN∥BC， ∴MN为△ABC的中位线，此时AM=4， 当0＜x≤4时，y=S=?x?x=x2，此时x=4，y的最大值为6； 当4＜x≤8时，PM与PN分别交BC于E、F，如图， y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF， ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN=AM=x， ∵MN∥BC， ∴四边形BFNM是平行四边形， ∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8， ∵Rt△PEF∽Rt△ACB， ∴， 而S△ABC=×8×6=24， ∴S△PEF=（x-4）2， ∴y=x2-（x-4）2 =-x2+12x-24， =-（x-）2+8（4＜x≤8）， ∵a=-＜0， ∴当x=时，y有最大值，最大值为8， 综上所述，当x=时，y有最大值，最大值为8．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过..”主要考查你对  一元二次方程的定义，一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的定义一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的定义

• 定义：
  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
  
  一元二次方程的一般形式：
  它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中 ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

• 方程特点；
  （1）该方程为整式方程。
  （2）该方程有且只含有一个未知数。
  （3）该方程中未知数的最高次数是2。
  
  判断方法：
  要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
  

• 点拨：
  ①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
  ②任何一个一元二次方程， 经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
  ③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
  ④项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
  ⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。