题文

已知：关于x的一元二次方程ax2+2（a-3）x+a+3=0有两个实数根，且a为非负整数。 （1）求a的值； （2）若抛物线y=ax2+2（a-3）x+a+3向下平移m（m>0）个单位后过点 （1，n） 和点（2，2n+1），求m的值； （3）若抛物线y=ax2+2（a-3）x+a+3上存在两个不同的点P、Q关于原点对称，求k的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）依题意，得△=[2（a-3）]2-4a（a+3）=-36a+36≥0， 解得a≤1， 又a≠0且a为非负整数， ∴a=1， ∴y=x2-4x+4； （2）抛物线y=x2-4x+4过点（1，1），（2，0），向下平移m（m＞0）个单位后得到点（1，n）和点（2，2n+1）， ∴ 解得m=3； （3）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0）， ∵P、Q在抛物线y=x2-4x+4+k上， 将P、Q两点坐标分别代入得：， 将两方程相加得：2x02+8+2k=0，即x02+4+k=0， ∵△′=-4（4+k）≥0， ∴k≤-4， 当k=-4时，P、Q两点重合，不合题意舍去， ∴k＜-4。

据专家权威分析，试题“已知：关于x的一元二次方程ax2+2（a-3）x+a+3=0有两个实数根，且a为..”主要考查你对  一元二次方程的解法，中心对称，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法中心对称平移

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点名称：中心对称

• 中心对称的定义：
  把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。
  中心对称图形的定义：
  在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

• 中心对称的性质：
  ①关于中心对称的两个图形是全等形。
  ②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
  ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
  
  中心对称的判定：
  如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 

• 中心对称与中心对称图形的联系: 
  中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。
  区别是：
  中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称。成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；
  而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称。中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
  也就是说：
  ① 中心对称图形：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
  ②中心对称：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称。

考点名称：平移

• 定义：
  将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。

• 平移基本性质：
  经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
  平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
  （1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
  （2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
  （3）多次连续平移相当于一次平移。
  （4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
  （5）平移是由方向和距离决定的。
  这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
  平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

  平移的三个要点
  1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
  2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
  3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）

  平移作用：
  1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
  2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。

• 平移作图的步骤：
  （1）找出能表示图形的关键点；
  （2）确定平移的方向和距离；
  （3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
  （4）按原图的顺序，连结各对应点。