题文

（1）方程xy+1=z的质数解是______； （2）方程 1 x + 1 y + 1 z =a（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是______； （3）方程 x + y = 2009 的整数解是______． （4）方程2a+2b+2c+2d=20.625的整数解是______．

题型：填空题  难度：偏易

答案

（1）当z为偶数， ∵z是质数， ∴z=2，即xy=1． ∴在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数， ∴z不可能是偶数，只能是奇数． 当z为奇数时， ∵xy+1=z， ∴xy为偶数，而奇数的任意次幂是奇数， ∴x必为偶数，但x是质数解， ∴x=2，此时方程为2y+1=z． 而当y为奇数时，2y+1是3的倍数，不为质数，所以y只能是偶数，即y=2，这时z=22+1=5． 所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一质数解； （2）∵x、y、z互不相等的正整数， ∴不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3， ∴ 1 x + 1 y + 1 z ＜ 1 1 + 1 2 + 1 2 =2， ∴a=1． 又∵ 1 x ＜ 1 x + 1 y + 1 z ＜ 3 x ，即 1 x ＜1＜ 3 x ， 所以1＜x＜3．故x=2． 又∵方程 1 y + 1 z = 1 2 ， ∴ 1 y ＜ 1 y + 1 z ＜ 2 y ，即 1 y ＜ 1 2 ＜ 2 y ，故2＜y＜4， ∴y=3． ∴ 1 3 + 1 z = 1 2 ，故z=6； 因此，方程的正整数解为x=2，y=3，z=6； （3）∵2009=72×41，而41是质数， ∴求方程 x + y = 2009 =7 41 的整数解，则 x 和 y 与 41 是同类二次根式， 所以求x、y，即求方程a 41 +b 41 =7 41 的解（其中a，b是正整数），即a+b=7． 所以可取a=2，5，1，6，3，4；与a相对应的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解为： x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ， （4）∵2a＜20.625＜25， ∴a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2a+2b+2c+2d≤23+22+21+20＜20.625， 所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3， 所以原方程的解为a=4，b=2，c=-1，d=-3． 故答案为：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4； x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ， ； a=4，b=2，c=-1，d=-3．

据专家权威分析，试题“（1）方程xy+1=z的质数解是______；（2）方程1x+1y+1z=a（其中a是整数..”主要考查你对  一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。