题文

方程6（6a2+3b2+c2）=5n2的所有整数解是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

显然，a=b=c=n=0是方程6（6a2+3b2+c2）=5n2（1）的一组解． 为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）=1． 由方程（1）可知，6是5n2的约数， 因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36， 因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数， 所以3是c2的约数， 故可设n=6m，c=3d， 代入（1）得 2a2+b2+3d2=10m2（2） b2+3d2=10m2-2a2 所以b和d具有相同的奇偶性． ①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数： 式（2）左边被8除的余数为2+1+3=6或0+1+3+4； 式（2）右边被8除的余数为0或2． 此时方程（2）无解，从而方程（1）无解． ②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数， （2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8， 所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数； 这样可设a=2a1-1，b=2b1，d=2d1，m=2m1-1， 其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1-1）-10m1（m1-1）-2=-（b12+3d12）， 10m1（m1-1）-2a1（a1-1）+2=b12+3d12（3） 由于m1（m1-1）及a1（a1-1）为偶数， 则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数， 否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立， 然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立， 于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解． 综上讨论知，方程只有一组解a=b=c=m=0．

据专家权威分析，试题“方程6（6a2+3b2+c2）=5n2的所有整数解是______．-数学-”主要考查你对  一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。