题文

关于x的方程x2-px-2q=0（p，q是正整数），若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（　　） A． 5 12 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2

题型：单选题  难度：偏易

答案

关于x的方程x2-px-2q=0（p，q是正整数）的两根为： p+ p2+8q 2 或 p- p2+8q 2 ， 其中正根为： p+ p2+8q 2 ，由题意得出： p+ p2+8q 2 ≤4， 即 p2+8q ≤8-p， 两边同时平方得出：p2+8q≤64-16p+p2， 化简为：q+2p≤8， ∵p，q是正整数， ∴所有组合为： q=1，p=1，2，3， q=2，p=1，2，3， q=3，p=1，2， q=4，p=1，2， q=5，p=1， q=6，p=1， 共12组， 其中满足 p+ p2+8q 2 是整数的有： q=1，p=1， q=2，p=3， q=3，p=1， q=4，p=2， q=6，p=1， 共5组，所以正根是整数的概率是： 5 12 ． 故选；A．

据专家权威分析，试题“关于x的方程x2-px-2q=0（p，q是正整数），若它的正根小于或等于4，..”主要考查你对  一元二次方程的解法，列举法求概率  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法列举法求概率

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点名称：列举法求概率

• 可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=。
  等可能条件下概率的特征：
  （1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
  （2）每一个结果出现的可能性相等。

• 概率的计算方法：
  （1）列举法（列表或画树状图），
  （2）公式法；
  列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果。
  
  列表法
  （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
  （2）列表法的应用场合
  当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
  
  树状图法
  （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
  （2）运用树状图法求概率的条件
  当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。