题文

给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是______．

题型：填空题  难度：偏易

答案

①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根； ∵方程的根为x= -b± b2-4ac 2a ，只有△为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根．故：①正确； ②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数； ∵方程的根为x= -b± b2-4ac 2a ，方程若有有理根，只有△能够开完全平方，方程有有理数根． 故：②正确； ③无理数系数方程： 2 x-2 2 x+ 2 =0的解是x=1，是有理数故：③错误． ④证明： 设方程有一个有理数根 n m （m，n是互质的整数）． 那么a（ n m ）2+b（ n m ）+c=0，即an2+bmn+cm2=0． 把m，n按奇数、偶数分类讨论， ∵m，n互质，∴不可能同为偶数． ①当m，n同为奇数时，则an2+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数≠0； ②当m为奇数，n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数≠0； ③当m为偶数，n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数+偶数+偶数=奇数≠0． 综上所述 不论m，n取什么整数，等式a（ n m ）2+b（ n m ）+c=0都不成立． 即假设方程有一个有理数根是不成立的． ∴当a，b，c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有有理数根 故：④正确 故填：①②④．

据专家权威分析，试题“给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方..”主要考查你对  一元二次方程的解法，命题，定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法命题，定理

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点名称：命题，定理

• 命题的概念：
  判断一件事情的语句，叫做命题。
  命题的概念包括两层含义：
  （1）命题必须是个完整的句子；
  （2）这个句子必须对某件事情做出判断。
  
  公理：
  人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
  
  定理：
  通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。
  一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。
  如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。
  在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。
  
  经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理，用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

• 命题的分类：
  （按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），
  所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
  所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

  四种命题：
  1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
  2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
  3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
  
  相互关系：
  1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
  2．四种命题的真假关系：
  ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
  ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）

  定理结构：
  定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。
  通常写作「若条件，则结论」。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。
  逆定理：
  若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A。逆叙述成立的情况是A←→B，否则通常都是倒果为因，不合常理。若某叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。
  若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

• 常用数学定理：
  1、每份数×份数=总数
  总数÷每份数=份数
  总数÷份数=每份数
  2、1倍数×倍数=几倍数
  几倍数÷1倍数=倍数
  几倍数÷倍数=1倍数
  3、速度×时间=路程
  路程÷速度=时间
  路程÷时间=速度
  4、单价×数量=总价
  总价÷单价=数量
  总价÷数量=单价
  5 、工作效率×工作时间=工作总量
  工作总量÷工作效率=工作时间
  工作总量÷工作时间=工作效率
  6 、加数+加数=和
  和－一个加数=另一个加数
  7 、被减数－减数=差
  被减数－差=减数
  差+减数=被减数
  8 、因数×因数=积
  积÷一个因数=另一个因数
  9、 被除数÷除数=商
  被除数÷商=除数
  商×除数=被除数

  小学数学图形计算公式：
  1 、正方形 C周长 S面积 a边长
  周长=边长×4 ；C=4a;
  面积=边长×边长； S=a×a
  2 、正方体 V:体积 a:棱长
  表面积=棱长×棱长×6； S棱=a×a×6 ；
  体积=棱长×棱长×棱长； V=a×a×a
  3、 长方形 C周长 S面积 a边长
  周长=(长+宽)×2 ；C=2(a+b) ；
  面积=长×宽 ；S=ab
  4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 c:高
  表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2； S=2(ab+bc+ca)；
  体积=长×宽×高 ；V=abc
  5、 三角形 s面积 a底 h高
  面积=底×高÷2 ；s=ah÷2
  三角形高=面积 ×2÷底
  三角形底=面积 ×2÷高
  6、 平行四边形 s面积 a底 h高
  面积=底×高 s=ah
  7、 梯形 s面积 a上底 b下底 h高
  面积=(上底+下底)×高÷2；s=(a+b)× h÷2
  8、 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
  周长=直径×∏=2×∏×半径； C=∏d=2∏r ；
  面积=半径×半径×∏
  9、 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
  侧面积=底面周长×高；
  表面积=侧面积+底面积×2 ；
  体积=底面积×高 ；
  体积=侧面积÷2×半径
  10、 圆锥体 v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径
  体积=底面积×高÷3