题文

设p为素数，k是正整数．求证：方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

题型：解答题  难度：中档

答案

充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x1=1，x2=p-1； 必要性，设方程x2+px+kp-1=0有整数解x1和另一根x2，由根与系数的关系得： x1+x2=-p，x1x2=kp-1．① 由①知x2也是整数根，假设k＞1， （x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=（k-1）p，② 因为p为素数，k-1＞0，由②得：p/x1+1，或p/x2+1， 不妨设p/x1+1，则有 x1+1=±mp x2+ 1=± k-1 m 其中m为正整数，且m整除k-1 由上式相加得：x1+x2+2=±（mp+ k-1 m ）． 由①得：-p+2=±（mp+ k-1 m ）③ 若③中右边取正号，则有 （m+1）p+ k-1 m =2， 显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有 （m-1）p+2+ k-1 m =0 此式左边大于0，矛盾． 因此，k=1．

据专家权威分析，试题“设p为素数，k是正整数．求证：方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的..”主要考查你对  一元二次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。