题文

已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0． （1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0； （2）求证：b-1≤c≤b+1； （3）求b，c的所有可能的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号． 若x1＞0，则x2＞0，这时-b=x1+x2＞0， 所以b＜0， 此时与b=x1′x2′＞0矛盾， 所以x1＜0，x2＜0． 同理可证x1′＜0，x2′＜0． （2）由（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1． 由韦达定理c-（b-1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0， 所以c≥b-1． 同理有b-（c-1）=x1′x2′+x1′+x2′+1=（x1′+1）（x2′+1）≥0 所以c≤b+1， 所以b-1≤c≤b+1． （3）由（2）可知，b与c的关系有如下三种情况： （i）c=b+1．由韦达定理知 x1x2=-（x1+x2）+1， 所以（x1+1）（x2+1）=2， 所以 x1+1=-1 x2+1=-2 或 x1+1=-2 x2+1=-1 解得x1+x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6． （ii）c=b．由韦达定理知 x1x2=-（x1+x2）， 所以（x1+1）（x2+1）=1， 所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4． （iii）c=b-1．由韦达定理知 -（x1′+x2′）=x1′x2′-1 所以（x1′+1）（x2′+1）=2， 解得x1′+x2′=-5，x1′x2′=6， 所以b=6，c=5． 综上所述，共有三组（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．

据专家权威分析，试题“已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′..”主要考查你对  一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的解法一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程的解法

• 一元二次方程的解：
  能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  解一元二次方程方程：
  求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
  

• 韦达定理：
  一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）
  一般式：ax2+bx+c=0的两个根x₁和x₂关系：
  x₁+x₂= -b/a
  x₁·x₂=c/a

• 一元二次方程的解法：
  1、直接开平方法
  利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
  直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
  用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
  
  2、配方法
  配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
  配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 。
  
  3、公式法
  公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
  一元二次方程 的求根公式：
  求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b²-4ac≥0。即求根公式使用的前提条件是a≠0且b²-4ac≥0。
  
  4、因式分解法
  因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0