已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0,若等腰三角形ABC的一边长a=4,另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.-数学

题文

已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-
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2
)=0,若等腰三角形ABC的一边长a=4,另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.
题型:解答题  难度:中档

答案

x2-(2k+1)x+4k-2=0,
整理得(x-2)[x-(2k-1)]=0,
∴x1=2,x2=2k-1,
当a=4为等腰△ABC的底边,则有b=c,
因为b、c恰是这个方程的两根,则2=2k-1,
解得k=1.5,
则三角形的三边长分别为:2,2,4,
∵2+2=4,这不满足三角形三边的关系,舍去;
当a=4为等腰△ABC的腰,
因为b、c恰是这个方程的两根,所以只能2k-1=4,
则三角形三边长分别为:2,4,4,
此时三角形的周长为2+4+4=10.
∴△ABC的周长为10.

据专家权威分析,试题“已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0,若等腰三角形ABC的一边长..”主要考查你对  一元二次方程的应用,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

一元二次方程的应用等腰三角形的性质,等腰三角形的判定三角形的三边关系

考点名称:一元二次方程的应用

  • 建立一元二次方程模型进行求解,把得到的答案带回实际问题中检验是否合理,来解决实际问题,如打折、营销、增长率问题等。

  •  

  • 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
    可概括为“审、设、列、解、答”五步,即:
    (1)审:是指读懂题意,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的关系;
    (2)设:是指设未知数;
    (3)列:就是列方程,这是非常重要的一步,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示等量关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程;
    (4)解:解这个方程,求出两个未知数的值;
    (5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案。
    提示:
    ①列方程解应用题时,要善于将普通语言化为数学语言,审题时,要特别注意关键词语,如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
    ②注重解法选择与验根,在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简单流畅,特别注意要对方程的解进行检验,根据实际情况作出正确取舍,以保证结论的准确性。

    常见题型公式:
    工程问题:    
    工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间  
    经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。

    利润赢亏问题 
    销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 
    有关关系式:
    商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
    商品利润率=商品利润/商品进价            
    商品售价=商品标价×折扣率 

    存款利率问题:
    利息=本金×利率×期数      
    本息和=本金+利息      
    利息税=利息×税率(20%)

    行程问题:
    基本数量关系:路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间,
    路程=速度×时间。
    ①相遇问题:快行距+慢行距=原距;
    ②追及问题:快行距-慢行距=原距;
    ③航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,
    逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:三角形的三边关系

  • 三角形的三边关系:
    在三角形中,任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边。
    设三角形三边为a,b,c

    a+b>c
    a+c>b
    b+c>a
    a-b<c
    a-c<b
    b-c<a
    在直角三角形中,设a、b为直角边,c为斜边。
    则两直角边的平方和等于斜边平方。
    在等边三角形中,a=b=c
    在等腰三角形中, a,b为两腰,则a=b
    在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下,c2=a2+b2-2abcosc

  • 三角形的三边关系定理及推论:
    (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
    推论:三角形的两边之差小于第三边。
    (2)三角形三边关系定理及推论的作用:
    ①判断三条已知线段能否组成三角形;
    ②当已知两边时,可确定第三边的范围;
    ③证明线段不等关系。

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