题文

所谓配方法其实就是逆用完全平方公式，即a2±2ab+b2=（a+b）2．该方法在数、式、方程等多方面应用非常广泛，如 3+2 2 =12+2 2 +（ 2 ）2=（1+ 2 ）2；x2+2x+5=x2+2x+1+4=（x+1）2+4等等．请你用配方法解决以下问题： （1）解方程：x2=5+2 6 ；（不能出现形如 5+2 6 的双重二次根式） （2）求证：不论m为何值，解关于x的一元二次方程x2+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根． （3）若a2+4b2+c2-2a-8b+10c+30=0，解关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0．

题型：解答题  难度：中档

答案

解；（1）x2=5+2 6 ， x2=（ 2 ）2+2 6 +（ 3 ）2， x2=（ 2 + 3 ）2， x=±（ 2 + 3 ）， x1= 2 + 3 或x2=- 2 - 3 ； （2）∵△=（m-1）2-4（m-3）=m2-2m+1-4m+12=m2-6m+13=（m-3）2+4＞0， ∴不论m为何值，关于x的一元二次方程x2+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根； （3）∵a2+4b2+c2-2a-8b+10c+30=0， ∴a2-2a+1+4b2-8b+4+c2+10c+25=0， ∴（a-1）2+（2b-2）2+（c+5）2=0， ∵（a-1）2≥0，（2b-2）2≥0，（c+5）2≥0， ∴（a-1）2=0，（2b-2）2=0，（c+5）2=0， ∴a=1，b=1，c=-5， 把a=1，b=1，c=-5代入ax2-bx+c=0得： x2-x-5=0， 解得：x= 1± 21 2 ， x1= 1+ 21 2 ，x2= 1- 21 2 ．

据专家权威分析，试题“所谓配方法其实就是逆用完全平方公式，即a2±2ab+b2=（a+b）2．该方法..”主要考查你对  一元二次方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的应用

考点名称：一元二次方程的应用

• 建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。

•  

• 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
  可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：
  （1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；
  （2）设：是指设未知数；
  （3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
  （4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；
  （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
  提示：
  ①列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
  ②注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。
  
  常见题型公式：
  工程问题：    
  工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间  
  经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

  利润赢亏问题 
  销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 
  有关关系式：
  商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
  商品利润率=商品利润/商品进价            
  商品售价=商品标价×折扣率 

  存款利率问题：
  利息=本金×利率×期数      
  本息和=本金+利息      
  利息税=利息×税率（20%）

  行程问题：
  基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，
  路程=速度×时间。
  ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
  ②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
  ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
  逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度