题文

学以致用 问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 讨论：小明说：一定存在． 小华说：一定不存在． 小红说：不一定存在． 探究：老师和大家一起举例说明：（1）如果已知矩形的长和宽和面积分别为7和1，那么它的周长和面积分别16和7，则所求的矩形周长和面积应为8和3.5； 问题转化为：周长为8，面积为3.5的矩形是否存在？ 我们假设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则它的宽为______ 可列出方程______ 解得：______ 所以：______ （2）①如果矩形的长和宽分别为5和1，这时情况如何？ ②综上所得，你认为______的说法正确．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则它的宽为 4-x， 可列出方程 x（4-x）=3.5 解得：x1=2+ 2 ，x2=2- 2 所以：矩形的长为2+ 2 ． （2）①如果矩形的长和宽分别为5和1，则矩形的周长为12，面积为5， ∴新矩形的周长为6，面积为2.5． 设所求矩形的长为x，固定它的周长为6，则它的宽为 3-x， 可列出方程 x（3-x）=2.5 △＜0，没有实数根 所以不存在这样的矩形； ②由以上两个结论可得小红的说法正确； 故答案为：（1）4-x；x（4-x）=3.5；x1=2+ 2 ，x2=2- 2 ；矩形的长为2+ 2 ． （2）②小红．

据专家权威分析，试题“学以致用问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和..”主要考查你对  一元二次方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程的应用

考点名称：一元二次方程的应用

• 建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。

•  

• 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
  可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：
  （1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；
  （2）设：是指设未知数；
  （3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
  （4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；
  （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
  提示：
  ①列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
  ②注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。
  
  常见题型公式：
  工程问题：    
  工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间  
  经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

  利润赢亏问题 
  销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 
  有关关系式：
  商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
  商品利润率=商品利润/商品进价            
  商品售价=商品标价×折扣率 

  存款利率问题：
  利息=本金×利率×期数      
  本息和=本金+利息      
  利息税=利息×税率（20%）

  行程问题：
  基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，
  路程=速度×时间。
  ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
  ②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
  ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
  逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度