题文

分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0 （1）有实根； （2）都是整数根．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1； 当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1， 当△≥0，即-3k2+6k+1≥0，方程有两个实数根，解得 3-2 3 3 ≤k≤ 3+2 3 3 ， ∴当 3-2 3 3 ≤k≤ 3+2 3 3 时，方程有实数根； （2）当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1； 当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1=-3（k-1）2+4， 一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数， ∴当△=4，则k=1；当△=1，则k=2；当△= 4 49 时，k=- 1 7 ；当△=0，则k=1± 2 3 3 ； 而x= -(k+1)± △ 2k ， 当k=1，解得x=0或-2； 当k=2，解得x=- 1 2 或-1； 当k=- 1 7 ，解得x=2或4； 当k=1± 2 3 3 ，解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数． ∴当k为0、1、- 1 7 时方程都是整数根．

据专家权威分析，试题“分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2+（k+1）x+（k-1）=0（1）有实根..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。