题文

关于x的方程x2+2x+2 x2+2x+2p -p2=0，其中p是实数． （1）若方程没有实数根，求P的范围； （2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）令 x2+2x+2p =y，① 则原方程变为y2+2y-（p2+2p）=0．（3分） ∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0， 即y1=p，y2=-2-p．（6分） 若原方程没有实数根，只须 p＜0 -2-p＜0 解这个不等式组，得-2＜p＜0．（9分） （2）∵p＞0，把y1=p代入①，得 x2+2x+2p =p② 而y2=-2-p＜0，舍去．（11分） 将②式平方，整理得x2+2x-（p2-2p）=0．③（12分） 令△=4+4（p2-2p）=4（p2-2p+1）=4（p-1）2=0，解得p=1．（15分） 当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0， ∴x1=x2=-1．（17分） 经检验，当p=1时，x1=x2=-1是原方程的根．（18分）

据专家权威分析，试题“关于x的方程x2+2x+2x2+2x+2p-p2=0，其中p是实数．（1）若方程没有实..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。