题文

设A、B、C为△ABC的三个内角，若方程（1+x2）sinA+2sinB?x+（1-x2）sinC=0有不等实根，那么∠A为______．

题型：填空题  难度：偏易

答案

把原方程化为（sinA-sinC）x2+（2sinB）x+（sinA+sinC）=0 由正弦定理，得sinA= a 2R ，sinB= b 2R ，sinC= c 2R ， 于是方程化为（a-c）x2+2bx+（a+c）=0， ∵原方程有不等实根，则a≠c，且△=4b2-4（a2-c2）＞0，得a2＜b2+c2，即b2+c2-a2＞0 根据余弦定理，得cosA= b2+c2-a2 2bc ＞0，故∠A为锐角． 故答案为锐角．

据专家权威分析，试题“设A、B、C为△ABC的三个内角，若方程（1+x2）sinA+2sinB?x+（1-x2）si..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，锐角三角函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式锐角三角函数的定义

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：锐角三角函数的定义

• 锐角三角函数：
  锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
  初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
  正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
  余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
  正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，
  锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

• 锐角三角函数的增减性：
  1.锐角三角函数值都是正值
  2.当角度在0°～90°间变化时，
  正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；
  正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
  正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
  3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

• 锐角三角函数的关系式：
  同角三角函数基本关系式
  tanα·cotα=1
  sin²α·cos²α=1
  cos²α·sin²α=1
  sinα/cosα=tanα=secα/cscα
  cosα/sinα=cotα=cscα/secα
  (sinα)²+(cosα)²=1
  1+tanα=secα
  1+cotα=cscα
  
  诱导公式
  sin（－α）=－sinα
  cos（－α）=cosα
  tan（－α）=－tanα
  cot（－α）=－cotα
  sin（π/2－α）=cosα
  cos（π/2－α）=sinα
  tan（π/2－α）=cotα
  cot（π/2－α）=tanα
  sin（π/2+α）=cosα
  cos（π/2+α）=－sinα
  tan（π/2+α）=－cotα
  cot（π/2+α）=－tanα
  sin（π－α）=sinα
  cos（π－α）=－cosα
  tan（π－α）=－tanα
  cot（π－α）=－cotα
  sin（π+α）=－sinα
  cos（π+α）=－cosα
  tan（π+α）=tanα
  cot（π+α）=cotα
  sin（3π/2－α）=－cosα
  cos（3π/2－α）=－sinα
  tan（3π/2－α）=cotα
  cot（3π/2－α）=tanα
  sin（3π/2+α）=－cosα
  cos（3π/2+α）=sinα
  tan（3π/2+α）=－cotα
  cot（3π/2+α）=－tanα
  sin（2π－α）=－sinα
  cos（2π－α）=cosα
  tan（2π－α）=－tanα
  cot（2π－α）=－cotα
  sin（2kπ+α）=sinα
  cos（2kπ+α）=cosα
  tan（2kπ+α）=tanα
  cot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)
  
  二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式
  Sin(2α)=2sinαcosα
  Cos(2α)=（cosα）²－(sinα)²=2(cosα)²－1=1－2(sinα)²
  Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
  sin(3α)=3sinα-4sin³α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
  cos(3α)=4cos³α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
  tan(3α)=(3tanα-tan³α)/(1-3tan²α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
  和差化积、积化和差公式
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  sinαcosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]
  sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2
  cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
  sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
  cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2